Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Ciklikus számok
gyula205
kérdése
541
Elgondolkozva a ciklikus számokon, ez számomra érdekes sejtésre adott alkalmat. Van tehát a természetes számok között egy számhalmaz, amit ideiglenesen jelölök H1-el. H1:={11,111,1111,11111,... stb.} = {11, 3•37, 11•101, 41•271, stb. }={(10^n-1)/9| n∈N} . H1 másik alakjában szereplő prímszámok okozták számomra a legnagyobb meglepetést.
Akárhogyan is választottam is ki őket és megszorozva egy alkalmas természetes számmal ciklikus számhoz jutottam.
Sejtésemet szeretném néhány példával alátámasztani.
Veszem tehát a H1-ben szereplő ötjegyű 11111=41•271 prímfelbontást és kiválasztom a 41-est, majd ezt olyan számmal szorzom, hogy ötjegyű számhoz jussunk. Legyen ez 271-nél több 389-es. A szorzat eredménye 15.949. Alkalmazva ezen a ciklikus léptetés (circular shift) műveletét az 59.491-hez jutok, amely szintén osztható lesz 41-el. Folytatva a sorozatot végül 91.594-hez jutok, amely szintén osztható lesz 41-el. Kapok tehát ugyanazokkal a számjegyekkel egy öt elemű sorozatot, amelynek minden tagja osztható lesz 41-el. Másik példa nagyon ismerős lesz: 142.857 ciklikus számról van szó. Ott a kiindulást a 111.111 osztói közül a 15.873=3•11•13•37 szám jelenti és megszorzom 9-el, hogy hatjegyű legyen. Kapom tehát, a 142.857-et. Majd végrehajtom hatszor a megfelelő ciklikus permutációkat, végül kapom a jól ismert sorozatot. Kapok tehát a 1, 4, 2, 8, 5 és 7-es számjegyekkel egy hat elemű sorozatot, amelynek minden tagja osztható lesz 15.873-al. Igaz volna az a sejtésem, hogy a H1 elemeihez tartozó osztók, ciklikus számokat generálnak? Igaz-e, hogy a H1 osztói között minden prímszám megtalálható?
Akárhogyan is választottam is ki őket és megszorozva egy alkalmas természetes számmal ciklikus számhoz jutottam.
Sejtésemet szeretném néhány példával alátámasztani.
Veszem tehát a H1-ben szereplő ötjegyű 11111=41•271 prímfelbontást és kiválasztom a 41-est, majd ezt olyan számmal szorzom, hogy ötjegyű számhoz jussunk. Legyen ez 271-nél több 389-es. A szorzat eredménye 15.949. Alkalmazva ezen a ciklikus léptetés (circular shift) műveletét az 59.491-hez jutok, amely szintén osztható lesz 41-el. Folytatva a sorozatot végül 91.594-hez jutok, amely szintén osztható lesz 41-el. Kapok tehát ugyanazokkal a számjegyekkel egy öt elemű sorozatot, amelynek minden tagja osztható lesz 41-el. Másik példa nagyon ismerős lesz: 142.857 ciklikus számról van szó. Ott a kiindulást a 111.111 osztói közül a 15.873=3•11•13•37 szám jelenti és megszorzom 9-el, hogy hatjegyű legyen. Kapom tehát, a 142.857-et. Majd végrehajtom hatszor a megfelelő ciklikus permutációkat, végül kapom a jól ismert sorozatot. Kapok tehát a 1, 4, 2, 8, 5 és 7-es számjegyekkel egy hat elemű sorozatot, amelynek minden tagja osztható lesz 15.873-al. Igaz volna az a sejtésem, hogy a H1 elemeihez tartozó osztók, ciklikus számokat generálnak? Igaz-e, hogy a H1 osztói között minden prímszám megtalálható?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
válasza
A wikipedia-ban olvastam utána, mik azok a ciklikus számok
(https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_number)
Amikre jutottál, azok a 142857 kivételével nem ciklikus számok. A ciklikussághoz az kell, hogy az n jegyű számot k=1,2,3,...,n-1-gyel szorozva jöjjenek ki a shift-elt (vagy inkább nevezzük rotáltnak) értékek. Nálad viszont teljesen vad szorzók lesznek, pl.:
15949: 389·41, 1199·41, 1451·41, 2234·41, 2315·41
A legnormálisabb általad talált ilyen szám talán a háromjegyű:
185: 5·37, 14·37, 23·37
ugyanis ezek legalább szabályos 9·37 különbséggel mennek, bár a legkisebb ott sem 1-es szorzóval van. (Az a helyzet, hogy mondjuk a 076923-at sem tekintik ciklikus számnak, pedig ott a legkisebb szorzó 1, de a többi 3,4,9,10,12, szóval nem egyesével megy.)
Nevezheted őket mondjuk gyengén ciklikus számoknak, ami alatt akkor annyit kell érteni, hogy a rotált számoknak van közös osztójuk. Nem nagyon hiszem, hogy a H1 halmazhoz van sok közük, hisz abból csak annyit használsz ki, hogy a közös osztó az ugyanolyan hosszú H1 elemnek is osztója. Ez mindenféleképpen nagyon érdekes tény, ha igaz, de nem lepődnék meg, ha gyorsan találnál ellenpéldát...
Az igazi ciklikus számok viszont erősen kötődnek H1-hez, hisz a `p` prímhez (`p={7,17,19,23,29,47,...}`) tartozó ciklikus szám a `(10^(p-1)-1)/p`, míg a H1-beli párja a `(10^(p-1)-1)/9`. Bár inkább magához a `10^(p-1)-1`-hez kötném, szóval H9-hez, nem H1-hez.
De szerintem kutass csak tovább a témában, hátha kijön belőle, amit sejtesz. Írj programot, ami mindenféle H1 (vagy H9) elemhez keres ilyen gyengén ciklikus számot, főleg azért, hogy kiderüljön, van-e ellenpélda.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_number)
Amikre jutottál, azok a 142857 kivételével nem ciklikus számok. A ciklikussághoz az kell, hogy az n jegyű számot k=1,2,3,...,n-1-gyel szorozva jöjjenek ki a shift-elt (vagy inkább nevezzük rotáltnak) értékek. Nálad viszont teljesen vad szorzók lesznek, pl.:
15949: 389·41, 1199·41, 1451·41, 2234·41, 2315·41
A legnormálisabb általad talált ilyen szám talán a háromjegyű:
185: 5·37, 14·37, 23·37
ugyanis ezek legalább szabályos 9·37 különbséggel mennek, bár a legkisebb ott sem 1-es szorzóval van. (Az a helyzet, hogy mondjuk a 076923-at sem tekintik ciklikus számnak, pedig ott a legkisebb szorzó 1, de a többi 3,4,9,10,12, szóval nem egyesével megy.)
Nevezheted őket mondjuk gyengén ciklikus számoknak, ami alatt akkor annyit kell érteni, hogy a rotált számoknak van közös osztójuk. Nem nagyon hiszem, hogy a H1 halmazhoz van sok közük, hisz abból csak annyit használsz ki, hogy a közös osztó az ugyanolyan hosszú H1 elemnek is osztója. Ez mindenféleképpen nagyon érdekes tény, ha igaz, de nem lepődnék meg, ha gyorsan találnál ellenpéldát...
Az igazi ciklikus számok viszont erősen kötődnek H1-hez, hisz a `p` prímhez (`p={7,17,19,23,29,47,...}`) tartozó ciklikus szám a `(10^(p-1)-1)/p`, míg a H1-beli párja a `(10^(p-1)-1)/9`. Bár inkább magához a `10^(p-1)-1`-hez kötném, szóval H9-hez, nem H1-hez.
De szerintem kutass csak tovább a témában, hátha kijön belőle, amit sejtesz. Írj programot, ami mindenféle H1 (vagy H9) elemhez keres ilyen gyengén ciklikus számot, főleg azért, hogy kiderüljön, van-e ellenpélda.
Módosítva: 5 éve
0
-
gyula205: Igaz volna az a sejtésem, hogy a H1 elemeihez tartozó osztók, ciklikus számokat generálnak? Igen. Legyen d a 10n-1 egy osztója (nem feltétlenül prímosztó), és legyen N a d-nek egy n-jegyű többszöröse (az első példádban d=41, n=5, N=15949). A ciklikus permutáció alkalmazása az N-en azt jelenti, hogy megszorozzuk 10-zel, majd lecsippentjük az első számjegyét és azt a számvégi nulla helyére írju 5 éve 0
-
gyula205: Sajnos a párbeszédpanel mérete meggátolt abban, amit el szerettem volna küldeni, egy szakértő válaszát. Ennek ellenére Bongolo válasza tekinthető irányadónak, az ő definícióját érzem helyesnek. Un . szakértő válaszát folyttatnám, amia Bongolo által megfogalmazott gyengén ciklikus számokra vonatkozik. 5 éve 0
-
gyula205: majd lecsippentjük az első számjegyét és azt a számvégi nulla helyére írjuk. Tehát ha az N első számjegye m, akkor az N-et lecseréljük az N':=10N-m(10n-1) számra. Mivel N és 10n-1 is osztható a d-vel, ezért az N' is osztható a d-vel. Az eljárást ismételve az N-ből n darab d-vel osztható n-jegyű számot kapunk (amik között persze lehetnek egyenlők). 5 éve 0
-
gyula205: Leírnám azt is, hogy milyen választ adott az utolsó kérdésemre. Igaz-e, hogy a H1 osztói között minden prímszám megtalálható? A 2 és az 5 nem található meg a prímosztók között (hiszen 10n-1 relatív prím ezekhez), de minden más prímszám igen. 5 éve 0
-
gyula205: Sőt, ennél több igaz: ha d relatív prím a 10-hez (tehát ha a d prímfelbontásában nem fordul elő a 2 és az 5), akkor d osztója valamelyik (10n-1)/9 alakú számnak. Konkrétan d osztja a (10n-1)/9-et, ha n=fi(9*d). Ez az Euler-Fermat tétel azonnali következménye. 5 éve 0