Egy különösen érdekes függvény

Akkor függvény, ha minden x-hez egyetlen egy érték lesz rendelve, vagyis ha az `a+b√2` számokat csak egyféleképpen lehet előállítani. Ez a súgás van a zárójelben.

Először lásd be, hogy ez (mármint hogy az `a+b√2` alakú számokat csak egyféleképpen lehet előállítani) egyenértékű azzal, hogy a nulla csak egyféleképpen írható fel `a+b√2` alakban, mégpedig úgy, hogy `0+0·√2`. Próbáld meg belátni, de ha kell, segítek.

A függvény maga pedig ilyen:
`y = sqrt2 x-b`
hiszen `sqrt2(a+bsqrt2)-b=asqrt2+2b-b=b+asqrt2`

Vagyis mondjuk az `x=a` alakú számokhoz (magyarul az összes racionálishoz) az `y=sqrt2x` egyenest rendeli, vagyis egy `sqrt2` meredekségű egyenest, ami az origón áthalad. Végtelenszer szakadozott az egyenes persze (megszámlálhatóan végtelen pontból áll), de picit messziről nézve egyenesnek látszik. A "picit messziről nézve" alatt azt értem, hogy akárhová is bökünk az igazi, folytontos egyenesen, tetszőleges ε sugarú környezetben találunk végtelen sok pontot, ami rajta van a szakadozott egyenesen.

Mondjuk az `x=a+sqrt2` alakú számokhoz pedig (picit messziről nézve ezek is lefedik a teljes számegyenest) az `y=sqrt2x-1` egyenest rendeli, ami az előző egyenes elcsúsztatva `b`-vel. (Nem az origón áthaladó szakadozott egyenes pontjai vannak lecsúsztatva, hanem az idealizált egyenes maga.) Vagyis ezen a szakadozott egyenesen megszámlálhatóan végtelen pont van, de mindegyik irracionális x koordinátával rendelkezik.

Az `x=a+2sqrt2` alakú számokhoz az `y=sqrt2x-2` egyenest rendeli, az is hasonló tulajdonságú. És így tovább.

Persze nem csak egész számok lehetnek a `b` értékei, hanem minden racionális szám, és ezekkel van elcsúsztatva az erdeti egyenes. Vagyis megszámlálhatóan végtelen sok szakadozott egyenes lesz a kép, ami picit messziről nézve befedi a teljes síkot.

Ezeken kívül lesz még egy `y=0` egyenletű egyenes is, szintén szakadozva, de ennek azt hiszem megszámlálhatatlanul végtelen pontja van.