Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egy különösen érdekes függvény
gyula205
kérdése
386
Lásd a csatolt képen a feladatot.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo{ }
megoldása
Akkor függvény, ha minden x-hez egyetlen egy érték lesz rendelve, vagyis ha az `a+b√2` számokat csak egyféleképpen lehet előállítani. Ez a súgás van a zárójelben.
Először lásd be, hogy ez (mármint hogy az `a+b√2` alakú számokat csak egyféleképpen lehet előállítani) egyenértékű azzal, hogy a nulla csak egyféleképpen írható fel `a+b√2` alakban, mégpedig úgy, hogy `0+0·√2`. Próbáld meg belátni, de ha kell, segítek.
A függvény maga pedig ilyen:
`y = sqrt2 x-b`
hiszen `sqrt2(a+bsqrt2)-b=asqrt2+2b-b=b+asqrt2`
Vagyis mondjuk az `x=a` alakú számokhoz (magyarul az összes racionálishoz) az `y=sqrt2x` egyenest rendeli, vagyis egy `sqrt2` meredekségű egyenest, ami az origón áthalad. Végtelenszer szakadozott az egyenes persze (megszámlálhatóan végtelen pontból áll), de picit messziről nézve egyenesnek látszik. A "picit messziről nézve" alatt azt értem, hogy akárhová is bökünk az igazi, folytontos egyenesen, tetszőleges ε sugarú környezetben találunk végtelen sok pontot, ami rajta van a szakadozott egyenesen.
Mondjuk az `x=a+sqrt2` alakú számokhoz pedig (picit messziről nézve ezek is lefedik a teljes számegyenest) az `y=sqrt2x-1` egyenest rendeli, ami az előző egyenes elcsúsztatva `b`-vel. (Nem az origón áthaladó szakadozott egyenes pontjai vannak lecsúsztatva, hanem az idealizált egyenes maga.) Vagyis ezen a szakadozott egyenesen megszámlálhatóan végtelen pont van, de mindegyik irracionális x koordinátával rendelkezik.
Az `x=a+2sqrt2` alakú számokhoz az `y=sqrt2x-2` egyenest rendeli, az is hasonló tulajdonságú. És így tovább.
Persze nem csak egész számok lehetnek a `b` értékei, hanem minden racionális szám, és ezekkel van elcsúsztatva az erdeti egyenes. Vagyis megszámlálhatóan végtelen sok szakadozott egyenes lesz a kép, ami picit messziről nézve befedi a teljes síkot.
Ezeken kívül lesz még egy `y=0` egyenletű egyenes is, szintén szakadozva, de ennek azt hiszem megszámlálhatatlanul végtelen pontja van.
1
gyula205:
A feladat kicsit hasonlít egy valós függvénytanos példához. Maga a függvény grafikonja is ortopédnek tűnik: "vagyis megszámlálhatóan végtelen sok szakadozott egyenes lesz a kép, ami picit messziről nézve befedi a teljes síkot." Nem erősségem ez a tárgy. A választ megoldásnak minősíteném, de hiányzik belőle valami, ami a függvény folytonosságával kapcsolatos. Az utolsó mondatba egy kis hiba csúszo
5 éve0
gyula205:
Az utolsó mondatba egy kis hiba csúszott. "Megszámlálhatatlanul végtelen pont" helyett inkább megszámlálhatóan végtelen ponthalmaz jöhet szóba.
5 éve0
bongolo:
Nem, nincs hiba, megszámlálhatatlanul végtelen. Más néven kontinuum számosságú. De nem tudom bizonyítani.
5 éve0
bongolo:
Olyanokra még könnyű bizonyítani, hogy mondjuk √3 nem állítható elő a+b√2 alakban (négyzetre kell emelni és az jön ki, hoyg csak akkor lehetne, ha a √2 racionális lenne). Ugyanígy lehet a √5, √7, stb. összes gyökre, de ebből csak megszámlálhatóan végtelen sok van. Aztán tuti, hogy π, e, stb. se állítható elő, és bizonyára minden más irracionális se (kivéve az a+b√2 irracionálisokat), de azt már ne
5 éve0
gyula205:
Igazad van. De elnézésedet szeretném kérni más miatt is. Én eddig a nem megszámlálhatóan végtelen ponthalmaz vagy kontinuum számosság fogalmával találkoztam. Itt jött elő egy harmadik fogalom a megszámlálhatatlanul végtelen ami ugyanazt jelenti, mint az első kettő.
5 éve0