Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Az alábbi határértékeknél,hogyan jön ki a rendőr elv?
asdasdasd
kérdése
707
lim (2n-5/4+3n)^n+4
(n-(végtelen))
itt először meg lett határozva az ,hogy maga a függvény tart 2/3-hoz (ami a 0-hoz(?)) (amit szintén nem tudok ,hogy miért.. , majd egy olyan rendőr elv lett erre felírva,hogy (3/6)^n+4 < (2n-5/4+3n)^n+4 < (5/6)^n+4
a két szélső tart a 0hoz ,így maga a függvény is a 0-hoz tart.
a másik:
n-edik gyök alatt(3n-2n+6)
itt pedig az lett megbecsülve ,hogy n-edik gyök alatt 3 tart a 3-hoz
itt az lett felírva ,hogy 3* n-edik gyök alatt(1/2) < n-edik gyök alatt(3^n-2^n+6) < 3* n-edik gyök alatt (7).
a két szélső tart a 3-hoz ,így a függvény is.
Kérdésem tehát konkrétan az lenne,hogy azok amelyeknél írtam,hogy hova tartanak azok miért pont oda ,illetve a rendőrelvnél miért pont azok az értékek lettek kiírva a függvény jobb és bal oldalára ?
(n-(végtelen))
itt először meg lett határozva az ,hogy maga a függvény tart 2/3-hoz (ami a 0-hoz(?)) (amit szintén nem tudok ,hogy miért.. , majd egy olyan rendőr elv lett erre felírva,hogy (3/6)^n+4 < (2n-5/4+3n)^n+4 < (5/6)^n+4
a két szélső tart a 0hoz ,így maga a függvény is a 0-hoz tart.
a másik:
n-edik gyök alatt(3n-2n+6)
itt pedig az lett megbecsülve ,hogy n-edik gyök alatt 3 tart a 3-hoz
itt az lett felírva ,hogy 3* n-edik gyök alatt(1/2) < n-edik gyök alatt(3^n-2^n+6) < 3* n-edik gyök alatt (7).
a két szélső tart a 3-hoz ,így a függvény is.
Kérdésem tehát konkrétan az lenne,hogy azok amelyeknél írtam,hogy hova tartanak azok miért pont oda ,illetve a rendőrelvnél miért pont azok az értékek lettek kiírva a függvény jobb és bal oldalára ?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
bongolo
{ 
}
megoldása
Off:
Egyrészt tanulj már meg rendesen felírni egy kifejezést:
Így írtad: (2n-5/4+3n)^n+4
Ez azt jelenti a műveleti jelek közötti sorrendet figyelembe véve, hogy `(2n-5/4+3n)^n+4`
Szerintem viszont arra gondolhattál, hogy `((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`, amit így kell leírni:
((2n-5)/(4+3n))^(n+4)
He pedig mindezt beírod két backtick közé (ami Alt-7 egy magyar billentyűzeten), így:
`\``((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`\``
Akkor ebből ez lesz:
`((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`
A másik is: n-edik gyök alatt(3n-2n+6) azt jelenti, hogy `root(n)(n+6)`.
Később ezt azért már jól is lírtad, de figyelj oda jobban.
----------------
`lim_(n→∞)((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`
Azt ugye tudod, hogy miért `2/3`-hoz tart a tört? Ha az megvan, akkor abból jön egy tipp, hogy ha annak lenne a sokadik hatványa a kérdés, akkor az 0 lenne, mert 1-nél kisebb számot ha hatványozol, akkor egyre kisebb lesz, tehát 0 a határértéke.
De nem `2/3` a tört, hanem csak olyan, ami `2/3`-hoz tart. Ezért majd csak jövő héten lehet az ilyet gyorsan elintézni azzal, hogy tudjuk, hogy a határérték 0 lesz, ma még (mindaddig, amíg a ZH-t meg nem írjátok) le kell vezetni mindent mondjuk rendőrelvvel.
Vagyis kell találni két számot, ami mindkettő 1-nél kisebb (mert azt akarjuk kihozni, hogy a hatvány határértéke nulla, hisz ez volt a tippünk), és az egyik kisebb, a másik nagyobb a törtnél.
Keressük a kisebbet:
`(2n-5)/(4+3n) > (n)/(4+3n) > (2n)/(4n) = 1/2` ha `n > 5`
Itt először a nevezőt csökkentettem, aztán a számlálót növeltem, mindkét alkalommal egyre kisebb számot kapunk. Csak akkor igazak az egyenlőtlenségek, ha `n` egy bizonyos értéknél nagyobb, de ez nem baj, mert végtelenhez tart, nagyobb lesz 5-nél tuti.
Aztán a nagyobbat:
`(2n-5)/(4+3n) < (2n)/(4+3n) < (2n)/(3n) = 2/3`
Először a számlálót növeltem, aztán a nevezőt csökkentettem.
Ez most "véletlenül" minden `n`-re igaz, az se lenne baj, ha csak valaminél nagyobb `n`-ekre lenne igaz...
Nekem most az a rendőr-elv jött ki így, hogy
`(1/2)^(n+4) < ((2n-5)/(4+3n))^(n+4) < (2/3)^(n+4)`
És bal és jobb oldalon is 1-nél kisebb szám hatványa van, ami mindkettő 0-hoz tart. Kész.
---
Nekem más értékek jöttek ki a rendőr-elvhez, de nem csak egy jó megoldás van. Aki a tieidet írta, más módszerrel csökkentette vagy növelte a törtet, nem gondolok bele, pontosan hogyan is csinálhatta.
Mindjárt írom a másikat is...
Egyrészt tanulj már meg rendesen felírni egy kifejezést:
Így írtad: (2n-5/4+3n)^n+4
Ez azt jelenti a műveleti jelek közötti sorrendet figyelembe véve, hogy `(2n-5/4+3n)^n+4`
Szerintem viszont arra gondolhattál, hogy `((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`, amit így kell leírni:
((2n-5)/(4+3n))^(n+4)
He pedig mindezt beírod két backtick közé (ami Alt-7 egy magyar billentyűzeten), így:
`\``((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`\``
Akkor ebből ez lesz:
`((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`
A másik is: n-edik gyök alatt(3n-2n+6) azt jelenti, hogy `root(n)(n+6)`.
Később ezt azért már jól is lírtad, de figyelj oda jobban.
----------------
`lim_(n→∞)((2n-5)/(4+3n))^(n+4)`
Azt ugye tudod, hogy miért `2/3`-hoz tart a tört? Ha az megvan, akkor abból jön egy tipp, hogy ha annak lenne a sokadik hatványa a kérdés, akkor az 0 lenne, mert 1-nél kisebb számot ha hatványozol, akkor egyre kisebb lesz, tehát 0 a határértéke.
De nem `2/3` a tört, hanem csak olyan, ami `2/3`-hoz tart. Ezért majd csak jövő héten lehet az ilyet gyorsan elintézni azzal, hogy tudjuk, hogy a határérték 0 lesz, ma még (mindaddig, amíg a ZH-t meg nem írjátok) le kell vezetni mindent mondjuk rendőrelvvel.
Vagyis kell találni két számot, ami mindkettő 1-nél kisebb (mert azt akarjuk kihozni, hogy a hatvány határértéke nulla, hisz ez volt a tippünk), és az egyik kisebb, a másik nagyobb a törtnél.
Keressük a kisebbet:
`(2n-5)/(4+3n) > (n)/(4+3n) > (2n)/(4n) = 1/2` ha `n > 5`
Itt először a nevezőt csökkentettem, aztán a számlálót növeltem, mindkét alkalommal egyre kisebb számot kapunk. Csak akkor igazak az egyenlőtlenségek, ha `n` egy bizonyos értéknél nagyobb, de ez nem baj, mert végtelenhez tart, nagyobb lesz 5-nél tuti.
Aztán a nagyobbat:
`(2n-5)/(4+3n) < (2n)/(4+3n) < (2n)/(3n) = 2/3`
Először a számlálót növeltem, aztán a nevezőt csökkentettem.
Ez most "véletlenül" minden `n`-re igaz, az se lenne baj, ha csak valaminél nagyobb `n`-ekre lenne igaz...
Nekem most az a rendőr-elv jött ki így, hogy
`(1/2)^(n+4) < ((2n-5)/(4+3n))^(n+4) < (2/3)^(n+4)`
És bal és jobb oldalon is 1-nél kisebb szám hatványa van, ami mindkettő 0-hoz tart. Kész.
---
Nekem más értékek jöttek ki a rendőr-elvhez, de nem csak egy jó megoldás van. Aki a tieidet írta, más módszerrel csökkentette vagy növelte a törtet, nem gondolok bele, pontosan hogyan is csinálhatta.
Mindjárt írom a másikat is...
0
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
`lim_(n→∞)root(n)(3^n-2^n+6)`
Becslés: Mivel `3^n` a domináns tag, ami sokkal gyorsabban nő, mint a többi, bizonyára a többi elhanyagolható lesz egy idő után, vagyis bizonyára `root(n)(3^n)=3`-hoz tart mindez. Csak be kell bizonyítani.
Olyan rendőrelvet kellene találni, ahol a kisebb és a nagyobb is kapásból tudott, hogy hová tart, és mindkettő éppen a 3-hoz.
A kisebb:
`3^n-2^n+6 > 3^n-2^n > 3^n - 3^n/2 = 3^n/2` ha `n ≥ 2`
Egyre csökkentettem a kifejezést (a végén nem csökkent tovább, ami szintén tök jó).
`root(n)(3^n/2)=3·root(n)(1/2)`
A nagyobb:
`3^n-2^n+6 < 3^n+6 < 3^n+3^n = 3^n·2` ha `n ≥ 2`
Egyre növeltem a kifejezést (a végén nem nőtt)
`root(n)(3^n·2)=3·root(n)(2)`
Bagyis ez a rendőr-elv:
`3·root(n)(1/2) < root(n)(3^n-2^n+6) < 3·root(n)(2)`
és mivel tetszőleges pozitív számnak az n-edik gyöke végtelenben az 1-hez tart (1-nél kisebbnek is, 1-nél nagyobbnak is), ezért a két oldal 3-hoz tart, vagyis a közepe is.
Tiszta minden?
Becslés: Mivel `3^n` a domináns tag, ami sokkal gyorsabban nő, mint a többi, bizonyára a többi elhanyagolható lesz egy idő után, vagyis bizonyára `root(n)(3^n)=3`-hoz tart mindez. Csak be kell bizonyítani.
Olyan rendőrelvet kellene találni, ahol a kisebb és a nagyobb is kapásból tudott, hogy hová tart, és mindkettő éppen a 3-hoz.
A kisebb:
`3^n-2^n+6 > 3^n-2^n > 3^n - 3^n/2 = 3^n/2` ha `n ≥ 2`
Egyre csökkentettem a kifejezést (a végén nem csökkent tovább, ami szintén tök jó).
`root(n)(3^n/2)=3·root(n)(1/2)`
A nagyobb:
`3^n-2^n+6 < 3^n+6 < 3^n+3^n = 3^n·2` ha `n ≥ 2`
Egyre növeltem a kifejezést (a végén nem nőtt)
`root(n)(3^n·2)=3·root(n)(2)`
Bagyis ez a rendőr-elv:
`3·root(n)(1/2) < root(n)(3^n-2^n+6) < 3·root(n)(2)`
és mivel tetszőleges pozitív számnak az n-edik gyöke végtelenben az 1-hez tart (1-nél kisebbnek is, 1-nél nagyobbnak is), ezért a két oldal 3-hoz tart, vagyis a közepe is.
Tiszta minden?
0
-
asdasdasd: Köszönöm a részletes válaszodat! Már tisztábban látok mint a kérdés feltevés előtt
.. Ami kérdésem lenne a feladattal kapcsolatosan az a következő: Miért lesz egyenlő a kisebb rendőr azzal,ha mínusz előjelet kap és hozzá adunk 3 ^n -t? Illetve ugyan ez lenne a kérdésem a nagyobb rendőrnél is . (persze,ott azzal a különbséggel,amivel ott volt egyenlő) . Illetve még egy utolsó kérdésem lenne ,
6 éve
0
-
asdasdasd: még pedig az,hogy konkrétan mely esetekben alkalmazzuk a rendőr elvet? 6 éve 0
-
bongolo: Nem értem, azt az előjel dolgot hogyan gondolod. 2ⁿ helyett 3ⁿ/2-t vontam le, attól csökkent. Ugyanis ha n ≥ 2, akkor 3ⁿ/2 nagyobb, mint 2ⁿ. Erre gondoltál? 6 éve 0
-
bongolo: Akkor alkalmazzuk, ha rájövünk, hogy tudjuk alkalmazni. Szabály nincs rá. 6 éve 0
-
asdasdasd: igazából arra gondoltam,hogy 3^n-(3^n/2) miért = 3^n/2-vel? Illetve a másik kérdésemmel kapcsolatosan,akkor úgy kérdeznék rá,hogy mik azok a feltételek,amelyeknél te rájössz,hogy alkalmazni kell? 6 éve 0
-
bongolo: Ha valamiből levonod a felét, akkor a fele marad. Nem? 6 éve 0
-
bongolo: "mik azok a feltételek,amelyeknél te rájössz,hogy alkalmazni kell?" Nincsenek olyanok. Megpróbálod, és ha rájössz valamire, örülsz. 6 éve 0
-
asdasdasd: Valóban ,most már világos ,hogy miért ez jött ki! Még1x köszi a segítséget 6 éve 0