Kombinatorika feladatok

2)
a) nem jó. Akkor lenne jó, ha egyformák lennének a jegyek. Szorozni kell még 10!-sal.
b) nem jó. Ugyanaz van, mint a)-nál. Kovács úr 10-féleképpen kaphat jegyet, a többiek 9!, vagyis `((19),(9))·10!`

Ha több jegy is mehet egy embernek, akkor vegyed sorban a jegyeket és add oda valakinek. Mindegyik jegyet 20-fél embernek adhatod, vagyis `20^(10)`

b) pedig ilyenkor: Nem érdemes Kovács urat előre venni, hogy kap egy jegyet, mert kaphat többet is és akkor nem fogod tudni követni, hogy hányszor számolod be ugyanazt a jegyet.
Inkább úgy kell számolni, hogy az a) megoldásból hagyjuk ki azokat, amikor Kovács úr nem kap jegyet, ami `19^(10)` lehetőség. Tehát `20^(10)-19^(10)`

6)
a)
Itt is különbözőek a díjak, nem mindegy, ki melyiket kapja, ezért szorozni kell 4!-sal.

b)
van 2 műszaki cikk, valamelyiket kapja Tóth
`2·((19),(3))·3!`
c)
`((19),(4))·4!`

10)
Most az nem számít, hogy melyik ágyon alszik valaki, csak az, hogy melyik szobában.
a) nem teljesen jó. Csak a szoba számít (de ha az ágy is számítana, akkor se lenne jó)
`((10),(3))·((7),(3))·((4),(4))`
b)
Ha Kovácsék az első háromágyas szobában vannak:
`((8),(1))·((7),(3))·((4),(4))`
Ha a másikban, akkor is ugyanennyi.
Ha pedig a 4-ágyasban, akkor:
`((8),(3))·((5),(3))·((2),(2))`
Persze azokat a `((4),(4))` illetve `((2),(2))` szorzókat nem is kellett volna odaírni.
Együtt tehát:
`2·8·((7),(3))+((8),(3))·((5),(3))`

14)
a) Van 2000 darab érme. Mindegyiket megkaphatja 5 ember, tehát `5^(2000)`
b) Adjunk mindenkinek előre 1000 Ft-ot (ezt egyféleképpen lehet). Marad 1000 darab 5-forintos érme, amit `5^(1000)`-féleképpen lehet kiosztani.

15.
A Balaton szeletek között nem lehet különbséget tenni. A Sport szeletek között sem.
Ha mind a 13 csoki megkülönböztethető lenne, akkor egyesével kiosztanánk őket. Mindegyik csokit 5 gyereknek adhatnánk, ami `5^(13)`
De ez nem jó, mert nem lehet megkülönböztetni bizonyos csokikat.

Nézzük külön, először a Balaton szeleteket:

Minden gyerek kaphat 0-tól 8-ig számú csokit, de összesen pontosan 8-at kapnak.

Próbáljuk berakni a csokikat 5 összeragasztott dobozba. (Mindegyik doboz 1-1 gyerekhez tartozik.) Az 5 doboz között 4 válaszfal van. Miután beraktuk a csokikat, mondjuk egy ilyen elrendezés lesz:
xx|x||xxxx|x
Az x-ek jelentik a csokikat, a | vonalak pedig a falakat.
Hogyan lehet minden lehetőséget kiszámolni?

Trükk: Legyen 8+4 darab tárgy:
oooooooooooo
Ebből `((12),(4))`-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyik négy o betű jelöljön válaszfalat, a többi pedig csokit. Ami így kialakul, abba a dobozba rakjuk a csokikat, vagyis annak a gyereknek adjuk.

Tehát a 8 Balaton szeletet `((12),(4))`-féleképpen oszthatjuk ki.

Hasonló meggondolással a Sport szeleteket `((5+4),(4))`-féleképpen.

Az összes csokit tehát `((12),(4))·((9),(4))` módon.

16.
Ez ugyanazzal az elvvel megy, mint a 15, csak ez egyszerűbb. Ráadásul eleve fiókokról van szó

Szóval van 5 tárgy és 5 válaszfal a fiókok között. Ez `((5+5),(5))` lesz ugyanolyan gondolatmenettel, mint az előző feladatban.

18)
40 főből kell kiválasztani 3-at, aztán 2-t, végül 1-et.
`((40),(3))·((37),(2))·((35),(1))`