Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kombinatorika feladatok
MathOverflow
kérdése
491
Sziasztok! Van pár megoldott feladatom, ám nem hiszem hogy jól megoldottak. Illetve van köztük megoldatlan is. Aki segítene a megoldásmenetében / megoldásban annak nagyon szépen megköszönném!
Csatoltam a feladatokat, és a meglévő megoldásokat a feladatokhoz.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
kombinatorika
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
7
bongolo{ }
megoldása
2)
a) nem jó. Akkor lenne jó, ha egyformák lennének a jegyek. Szorozni kell még 10!-sal.
b) nem jó. Ugyanaz van, mint a)-nál. Kovács úr 10-féleképpen kaphat jegyet, a többiek 9!, vagyis `((19),(9))·10!`
Ha több jegy is mehet egy embernek, akkor vegyed sorban a jegyeket és add oda valakinek. Mindegyik jegyet 20-fél embernek adhatod, vagyis `20^(10)`
b) pedig ilyenkor: Nem érdemes Kovács urat előre venni, hogy kap egy jegyet, mert kaphat többet is és akkor nem fogod tudni követni, hogy hányszor számolod be ugyanazt a jegyet.
Inkább úgy kell számolni, hogy az a) megoldásból hagyjuk ki azokat, amikor Kovács úr nem kap jegyet, ami `19^(10)` lehetőség. Tehát `20^(10)-19^(10)`
1
MathOverflow:
Nagyon köszönöm a segítséget, magyarázatokat!!
5 éve0
bongolo:
Egyébként ezt (amikor egyet kaphat csak valaki) lehet úgy is számolni, hogy az első jegy mehet 20 embernek, a második már csak 19-nek, stb, tehát 20·19·18·17·... ami 20!/10!. A b) meg hasonlóan Kovács úr 10-félét kaphat, a többi 9 jegy mehet 19·18·... embernek, ami 10·19!/10!
5 éve0
bongolo{ }
válasza
6)
a)
Itt is különbözőek a díjak, nem mindegy, ki melyiket kapja, ezért szorozni kell 4!-sal.
b)
van 2 műszaki cikk, valamelyiket kapja Tóth
`2·((19),(3))·3!`
c)
`((19),(4))·4!`
1
bongolo:
Ez is számolható úgy is, hogy egymás után kiosztjuk az ajándékokat, és hány ember kaphatja: a) 20·19·18·17 b) 2·19·18·17 c) 19·18·17·16
5 éve0
bongolo{ }
válasza
10)
Most az nem számít, hogy melyik ágyon alszik valaki, csak az, hogy melyik szobában.
a) nem teljesen jó. Csak a szoba számít (de ha az ágy is számítana, akkor se lenne jó)
`((10),(3))·((7),(3))·((4),(4))`
b)
Ha Kovácsék az első háromágyas szobában vannak:
`((8),(1))·((7),(3))·((4),(4))`
Ha a másikban, akkor is ugyanennyi.
Ha pedig a 4-ágyasban, akkor:
`((8),(3))·((5),(3))·((2),(2))`
Persze azokat a `((4),(4))` illetve `((2),(2))` szorzókat nem is kellett volna odaírni.
Együtt tehát:
`2·8·((7),(3))+((8),(3))·((5),(3))`
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
válasza
14)
a) Van 2000 darab érme. Mindegyiket megkaphatja 5 ember, tehát `5^(2000)`
b) Adjunk mindenkinek előre 1000 Ft-ot (ezt egyféleképpen lehet). Marad 1000 darab 5-forintos érme, amit `5^(1000)`-féleképpen lehet kiosztani.
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
válasza
15.
A Balaton szeletek között nem lehet különbséget tenni. A Sport szeletek között sem.
Ha mind a 13 csoki megkülönböztethető lenne, akkor egyesével kiosztanánk őket. Mindegyik csokit 5 gyereknek adhatnánk, ami `5^(13)`
De ez nem jó, mert nem lehet megkülönböztetni bizonyos csokikat.
Nézzük külön, először a Balaton szeleteket:
Minden gyerek kaphat 0-tól 8-ig számú csokit, de összesen pontosan 8-at kapnak.
Próbáljuk berakni a csokikat 5 összeragasztott dobozba. (Mindegyik doboz 1-1 gyerekhez tartozik.) Az 5 doboz között 4 válaszfal van. Miután beraktuk a csokikat, mondjuk egy ilyen elrendezés lesz:
xx|x||xxxx|x
Az x-ek jelentik a csokikat, a | vonalak pedig a falakat.
Hogyan lehet minden lehetőséget kiszámolni?
Trükk: Legyen 8+4 darab tárgy:
oooooooooooo
Ebből `((12),(4))`-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyik négy o betű jelöljön válaszfalat, a többi pedig csokit. Ami így kialakul, abba a dobozba rakjuk a csokikat, vagyis annak a gyereknek adjuk.
Tehát a 8 Balaton szeletet `((12),(4))`-féleképpen oszthatjuk ki.
Hasonló meggondolással a Sport szeleteket `((5+4),(4))`-féleképpen.
Az összes csokit tehát `((12),(4))·((9),(4))` módon.
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
válasza
16.
Ez ugyanazzal az elvvel megy, mint a 15, csak ez egyszerűbb. Ráadásul eleve fiókokról van szó
Szóval van 5 tárgy és 5 válaszfal a fiókok között. Ez `((5+5),(5))` lesz ugyanolyan gondolatmenettel, mint az előző feladatban.
1
Még nem érkezett komment!
bongolo{ }
válasza
18)
40 főből kell kiválasztani 3-at, aztán 2-t, végül 1-et.
`((40),(3))·((37),(2))·((35),(1))`