1.1.-1.4.
A referenciairányokat tetszőlegesen meg lehet választani, tehát egy csomó különböző megoldás van. Mellékeltem egyet képként. A normál fát úgy kell csinálni, hogy a fába beleválasztjuk az összes feszültségforrást és kondenzátort, az áramforrásokat és a tekercseket pedig kihagyjuk. Aztán hozzáveszünk még annyi ellenállást, ahány szükséges a fa összefüggőségéhez. Ehhez a hálózathoz (adott referenciairányok mellett) egyetlen normál fa van.


1.5.
`u_R(t)=Ri_R(t)`

`u_L(t)=L(di_L(t))/(dt)`

`i_C(t)=C(du_C(t))/(dt)`


Az alábbi számítások során nem írok mértékegységeket, hanem mindent a {V, mA, kΩ, mH, nF, μs, MHz} koherens egységrendszerben számolok.


2.1.
`u_s(t)=150cos(omega t-30°)`, tehát `hat {overline U}_s=150 e^{-j30°}=75sqrt3-j75\text{V}`

`i_s(t)=80cos(omega t+60°)`, tehát `hat {overline I}_s=80 e^{j60°}=40+j40sqrt3\text{mA}`


2.2.
`Z_R=R=2\text{kΩ}`

`Z_L=j omega L=j*2pi*0.21*3=j*1.26pi\text{kΩ}~~j3.96\text{kΩ}`

`Z_C=1/(j omega C)=-j*1/(2pi*0.21*0.4)=-j*125/(21pi)\text{kΩ}~~-j1.89\text{kΩ}`


2.3.-2.9.
Melyik a kijelölt kétpólus? Az ellenállás, a kondenzátor vagy a tekercs?

Köszönet a megoldásért AlBundy. A tekercs kijelölt a kijelölt kétpólus.

Tehát a tekercsre kell kiszámolni a 2.3.-2.9. feladatokat.

A Thevenin-helyettesítőkép egy feszültségforrásból és egy azzal soros impedanciából fog állni. A paraméterek számításához először is ki kell venni a tekercset a hálózatból. Aztán a helyettesítőkép belső impedanciát megkapjuk, ha a forrásokat hatástalanítjuk (a feszültségforrást rövidzárral, az áramforrást szakadással helyettesítjük), és kiszámoljuk a maradék hálózat eredő impedanciáját. Jelen esetben:

`Z_{Th}=Z_C+R~~2-j1.89\text{kΩ}`

A helyettesítőkép belső generátorának feszültségét pedig a szuperpozíció módszerével kapjuk meg: külön külön hatástalanítjuk a forrásokat, kiszámoljuk a kimenő feszültséget, majd összeadjuk őket. Ha az áramforrást hatástalanítjuk, akkor a kimenő feszültség az általam választott referenciairány szerint `-U_s`. Ha a feszültségforrást hatástalanítjuk, akkor pedig az ellenálláson és a kondenzátoron folyik az áramgenerátor árama, tehát a helyettesítőkép belső feszültsége:

`U_{Th}=-U_s+I_s(R+Z_C)~~160.0 e^(j59.44°)\text{V}`

Vagy időfüggvénnyel:

`u_{Th}(t)~~160.0cos(omega t+59.44°)`

A tekercs árama, feszültsége és teljesítménye:

`U_L=U_{Th}*(Z_L)/(Z_L+Z_{Th})~~220.4e^(j103.54°)\text{V}`

`I_L=U_L/Z_L~~55.7e^(j13.54°)\text{mA}`

`S_L=1/2 U_L I_L^\text{*}~~0\text{W}+j6.14\text{var}`


A Norton-helyettesítőkép egy áramgenerátorból és egy vele párhuzamos impedanciából áll. Az impedancia megegyezik a Thevenin-helyettesítőkép impedanciájával:

`Z_N=Z_{Th}~~2-j1.89\text{kΩ}`

Az áramgenerátor áramát ismét ki lehet számolni szuperpozícióval: a tekercs helyét rövidre zárjuk, és a források egyenkénti hatástalanításával adódó rövidzárási áramokat összeadjuk. De a Thevenin-kép ismeretében könnyebb kiszámolni, hiszen a kettőnek ugyanazt a rövidzárási áramot kell adnia:

`I_N=U_{Th}/Z_{Th}~~58.1e^(j102.89°)\text{mA}`

Az időfüggvény:

`i_N(t)~~58.1cos(omega t +102.89°)`


LTSpice szimulációval ellenőriztem, hogy jól számoltam-e, erről mellékeltem képet. Balra az eredeti kapcsolás, középen a Thevenin, jobbra a Norton. A grafikonon felül a tekercs feszültsége, alul az árama a három kapcsolásban. Jól látható, hogy állandósult állapotban megegyeznek.