Hermite interpoláció?

A Newton interpolációt érdemes először megérteni. Abban nincsenek deriváltak, csak a függvényértékek.
Vagyis `(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2))` stb szám-párokból indulunk ki.
Aztán ki kell számolni a differencia-hányados-szerű hányadosokat (osztott differenciáknak szokták hívni), vagyis ezeket:
`(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0), (f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)` stb.
Ezeket úgy szoktuk jelölni, hogy `f[x_1,x_0], f[x_2,x_1]` stb., az `f` után szögletes zárójelben van, hogy milyen `x`-ek osztott differenciájáról van szó.
Aztán ezeknek az osztott differenciáit is hasonlóan: pl. `f[x_1,x_0]` és `f[x_2,x_1]` hányadosa ez:
`f[x_2,x_1,x_0]=(f[x_2,x_1]-f[x_1,x_0])/(x_2-x_0)`
Mindezt ilyen háromszög-alakú ábrán szoktuk leírni:

`{:
(x_0,f(x_0), , , )
,( , , f[x_1,x_0], , )
,(x_1,f(x_1), , f[x_2,x_1,x_0] , )
,( , , f[x_2,x_1], , f[x_3,x_2,x_1,x_0])
,(x_2,f(x_2), , f[x_3,x_2,x_1] , )
,( , , f[x_3,x_2], , )
,(x_3,f(x_3), , , )
:}`

Ha sokat kellene írni, akkor mondjuk `f[x_3,x_2,x_1,x_0]` írható úgy is, hogy `f[x_3 ... x_0]` és ezt a hányadost jelenti:
`f[x_3 ... x_0]=(f[x_3 ... x_1]-f[x_2...x_0))/(x_3-x_0)`

Az interpolált polinom pedig ez lesz:
`f(x_0)+f[x_1,x_0]·(x-x_0)+f[x_2...x_0]·(x-x_1)(x-x_0)+f[x_3...x_0]·(x-x_2)(x-x_1)(x-x_0)`

Folytatom a Hermite-tel...

A Hermite ettől abban különbözik, hogy felhasználja a függvény deriváltjait is, ha van olyan adat bizonyos x-eknél.
Mondjuk most ezek az x-ek vannak:
`x_0=-2, x_1=-1, x_2=1`
és `x_1`-hez van két derivált is, a többihez 1-1.
Mindegyik x-et megsokszorozzuk annyiszor, ahány derivált van hozzá:
`z_0="-2"`
`z_1="-2"` mert van első derivált
`z_2="-1"` (ez az `x_1`)
`z_3="-1"` mert van első derivált
`z_4="-1"` mert van második derivált
`z_5=1` (ez az `x_3`)
`z_6=1` mert van első derivált
És ezekkel csinálunk olyasmit, mint a Newton interpolációnál.
Viszont ilyenkor azok az osztott differenciák, amik azonos x-ekből származnak, azok 0/0 értékűek lennének, ami hülyeség. Ezeknél a hányados helyett a derivált szerepel, osztva n-faktoriálissal, ahol n az "emelet" száma. Az első derivált 1!-sal van osztva, a második derivált 2!-tal, stb.

Az adott esetben olyan táblázat lesz ebből, mint amit ez az ábra mutat (remélem, jól számoltam a hányadosokat, számolj utána)

Tehát mondjuk a második osztott differenciák oszlopában a középső az derivált lesz: `(f''(z_2))/(2!)`, mert a tőle balra fent és lent lévő két számból kellene kiszámolni, de azok egyformák, ezért 0/0 lenne belőlük.
Aztán pl. az `f[z_5..z_2]` úgy jön ki, hogy a tőle balra fent és lent lévő két számnak kell venni a differenciáját `("-8"/2-"-16"/2=4)`, aztán osztani kell `z_5-z_2=1-(-1)` értékkel.

Számold végig mindet, lehet, hogy elrontottam valahol.

Miután megvan ez a háromszög, le lehet róla olvasni a polinomot a felső ferde vonalból (a tetejéből):
`"-10"+("-20")·(x-z_0)+28(x-z_1)(x-z_0)+("-26")(x-z_2)(x-z_1)(x-z_0)\ ...` stb.
Ilyesmi lesz:
`-10 -20(x+2) +28(x+2)² -26(x+1)(x+2)² +16(x+1)²(x+2)² -40/9 (x+1)³(x+2)² +35/27 (x-1)(x+1)³(x+2)²`

Ezt illene még kifejteni és összevonni, hogy rendes polinom-kinézetű legyen. Nem lesz szép, úgyhogy lehet, hogy elrontottam valahol a számolást.