Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Verseny utáni feladat eredménye és kiszámolása érdekel. (közösen megtett munka)

546
Egy medencét az (A) és (B) csap 6 óra alatt tölt meg, a (B) és (C) csap 4 óra alatt és az (A) és (C) csap 3 óra alatt tölti meg a medencét. Külön külön mennyi idő az egyes csapoknak megtölteni a medencét? Részletes számolást és leírást kérnék hogy megértsem, köszönöm!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, fizika, víz, szöveges, feladat, verseny, nehéz
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Én úgy kezdenék neki, hogy először felírom hogy `A` csap `t_a`, `B` csap `t_b` és `C` csap `t_c` idő alatt tölti meg a medencét egyedül. Ezután a töltési sebességre fel tudsz olyanokat írni, hogy `v_a=(1\ (text(medence)))/t_a`, `v_b=1/t_b`, `v_c=1/t_c`.
Ezután felírhatod azt, hogy mekkora a töltési sebesség, amikor két csap tölti egyszerre:
`v_(a+b)=v_a+v_b=1/t_a+1/t_b`
`v_(b+c)=v_b+v_c=1/t_b+1/t_c`
`v_(c+a)=v_c+v_a=1/t_c+1/t_a`
(Hiszen ha két csap tölti egyszerre, akkor a sebességeik nyilván összeadódnak).
Ezután felírhatod az időket, amik alatt két csap megtölti:
`t_(a+b)=1/v_(a+b)=1/(1/t_a+1/t_b)=1/((t_a+t_b)/(t_a t_b))=(t_a t_b)/(t_a+t_b)`
(hiszen `v_(a+b)*t_(a+b)=1\ (text(medence))`)
Hasonló mintára felírható, hogy:
`t_(b+c)=(t_b t_c)/(t_b+t_c)`

`t_(c+a)=(t_c t_a)/(t_c+t_a)`

De ha megnézed, akkor ezeket az időket megadták adatban, tehát felírható az is, hogy:
`6\ (h)=(t_a t_b)/(t_a+t_b)`
`6t_a+6t_b=t_a*t_b`
Ismét hasonló mintára felírható, hogy
`4t_b+4t_c=t_b*t_c`
`3t_a+3t_c=t_a*t_c`
Na így kapod ezt a remek 3 ismeretlenes egyenletrendszert 3 egyenlettel, ezért elvileg meg lehet oldani ennyiből. Mivel most semmi nagy trükk nem jut eszembe, marad a jó öreg "kifejezem az egyik egyenletből az ismeretlent és behelyettesítek" módszer.

`6t_a+6t_b=t_a*t_b`
`6t_a=t_a*t_b-6t_b`
`6t_a=t_b*(t_a-6)`
`(6t_a)/(t_a-6)=t_b`

`4t_b+4t_c=t_b*t_c`
`4t_b=t_b*t_c-4t_c`
`4t_b=t_c*(t_b-4)`
`(4t_b)/(t_b-4)=t_c`

`t_c=(4*(6t_a)/(t_a-6))/((6t_a)/(t_a-6)-4)=(4*(6t_a)/(t_a-6))/((6t_a-4*(t_a-6))/(t_a-6))=(24t_a)/(2t_a+24)=(12t_a)/(t_a+12)`

`3t_a+3t_c=t_a*t_c`
`3t_a+3*(12t_a)/(t_a+12)=t_a*(12t_a)/(t_a+12)`

`3t_a*(t_a+12)+36t_a=12t_a^2`
`t_a*(t_a+12)+12t_a=4t_a^2`
`t_a^2+12t_a+12t_a=4t_a^2`
`3t_a^2-24t_a=0`
`3t_a*(t_a-8)=0`
Egy szorzat értéke akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Az egyik lehetőség erre az, hogy `3t_a=0`, de `t_a ne 0`, szóval ez nem lehet. Marad az, hogy
`t_a-8=0`
`t_a=8`

Ezt visszahelyettesítgeted a fenti egyenlőségekbe:
`3t_a+3t_c=t_a*t_c`
`3*8+3t_c=8*t_c`
`24=5t_c`
`t_c=24/5`

`6t_a+6t_b=t_a*t_b`
`6*8+6t_b=8*t_b`
`48=2t_b`
`t_b=24`

EDIT: Egyébként melyik verseny és hanyadik forduló?
EDIT2: Valószínűleg kihagytam egy csomó diszkutálást, hogy mi van akkor, hogy ha a nevezőkben 0 van, de ahogy így nézem, ezek ellentmondáshoz vezetnének, szóval egyébként se lehetnek. A biztonság kedvéért leellenőriztem wolframalpha-val, és az is ezeket a gyököket adja ki.
6=1/(1/a+1/b); 4=1/(1/b+1/c); 3=1/(1/a+1/c)
Ezzel a sorral tudod megnézni.
Módosítva: 5 éve
1

"...most semmi nagy trükk nem jut eszembe,..."
Ez a mondat indított egy ilyen jellegű feladatok megoldására alkalmas módszer leírására.

Adott
t(a,b) = 6
t(b,c) = 4
t(a,c) = 3
t(a), t(b), t(c) = ?

A kiinduló egyenletek
1/t(a,b) = 1/t(a) + 1/t(b)
1/t(b,c) = 1/t(b) + 1/t(c)
1/t(a,c) = 1/t(a) + 1/t(c)

Legyen
1/t(a,b) = a
1/t(b,c) = b
1/t(a,c) = c

1/t(a) = x
1/t(b) = y
1/t(c) = z

Ezekkel az új kiinduló egyenletek
x + y = a
y + z = b
x + z = c
Összeadva a három egyenletet
2(x + y + z) = a + b + c
x + y + z = (a + b + c)/2
(a + b + c)/2 = s (mint a háromszög félkerülete)
ezzel
x + y + z = s

Az új kiinduló egyenleteket felhasználva írható, hogy
a + z = s
z = s - a

x + b = s
x = s - b

y + c = s
y = s - c

A megoldást az x, y, z értékek reciproka adja.
0