Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Komplex számok feladat?

322
Adott lenne ez az összetett feladat, viszont ilyesféle példát nem találtam máshol ahol gyakorolhatnék,annyi bizonyos hogy két részt kell vizsgálni,mert akkor 0 az eredmény,ha valamelyik tényezőjük is az. Valaki levezetné ezt nekem lépésről lépésre? Nagyon szépen köszönöm...
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
vizsgafeladat, Matematika, komplexszámok
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

3
₂Egy szorzat értéke akkor és csak akkor 0, hogyha a szorzat tényezői közül valamelyik 0. Ez alapján két egyenletet kapunk:

`z⁴+16=0`, erre `z⁴=-16` adódik. Ha még nem tanultad a trigonometrikus/exponenciális alakot, akkor a gyökvonást érdemes két részletben elvégezni; először vonjunk négyzetgyököt, így két egyenletet kapunk:
`z²=4i` és `z²=-4i`, majd egy újabb gyökvonás után:
`z=2√i`, `z=-2√i`, `z=2 `-i`  és `z=-2` `-i` 

Egy dolgunk van még; `i`-ből és `-i`-ből gyököt kell vonnunk.
A trükk itt az lesz, hogy remélhetőleg az eredmény is komplex lesz, ami azt jelenti, hogy felírható `a+bi` alakban, ahol `a` és `b` valós számok. Írjuk hát fel az egyenletet:

`√i = a+bi`, négyzetre emelünk a tanult módon:
`i = a²+2abi-b²`, kicsit variáljuk meg mindkét oldalt:
`0+1i = a²-b² +2abi`

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, hogyha a valós és képzetes rész megegyezik a két számban, tehát ezeknek teljesülniük kell:

`0 = a²-b²`
`1 = 2ab`

Értelemszerűen ezeknek egyszerre kell teljesülniük, így ezek egyenletrendszert alkotnak.
Az első egyenletet rendezve kétféle megoldást kapunk; `a=b` és `a=-b`.
-Ha `a=b`, akkor a második egyenletben `1 = 2b², erre ± `1/2`  = b adódik, és mivel a=b, ezért két keresett szám: √i₁= `1/2`  +  `1/2` i és √i₂=- `1/2`  -  `1/2` i, ebből már tudjuk z₁ és z₂ értékét. Ellenőrzésként érdemes ezeket négyzetre emelni, hogy valóban i lesz az eredmény.
-Ha `a=-b`, akkor `1 = -2b²`, ennek nincs valós megoldása.
Ugyanezt végig kell játszani a  -i -vel.

Most foglalkozzunk a másik tényezővel:
`x²-4z+13=0`
Felírod a megoldóképletet, majd a komplex szám gyökvonását ugyanúgy végigzongorázod, mint ahogyan fent láthattad.

Ha valami nem megy, szólj, és segítek még.
1

Köszönöm nagyon részletes válasz, nem tudom mennyire megvalósítható de trigonometrikus módon és letudnád irni a levezetését? :)
0

Első körben értsük meg a komplex számok reprezentációját; a valós számokat számegyenesen szoktuk jelölni (ahogyan azt alsóban megtanultuk), a komplex számokat már komplex számsíkon jelöljük a következő módon; felveszünk két, egymásra merőleges számegyenest, a vízszintes számegyenesen számoljuk a valós számokat, a függőleges számegyenesen a tisztán komplex számokat, vagyis a c*i alakú számokat, ahol c valós szám. Ezen a számsíkon úgy jelöljük a komplex számokat, hogy a szám valós része szerint húzunk egy merőlegest a valós számegyenes megfelelő számán keresztül, ugyanezt megtesszük a komplex rész szerint a komplex számegyenesen, és ahol ezek keresztezik egymást, ott lesz a számsíkon a számunk. Például a 3+4i szám esetén a valós számegyenesen a 3-nál, a komplex számegyenesen a 4i-nél húzzuk be a merőlegeseket, és ezek metszéspontjában található a 3+4i szám.
Az analógia nem véletlenül lehet ismerős; ugyanígy jelölünk pontokat a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben, tehát a komplex számsík felfogható egy koordinátarendszernek, így a játékszabályok ugyanúgy működnek ott is. Eszerint a 3+4i komplex szám megfeleltethető a (3;4) pontnak. A pontokhoz helyvektorok is tartoznak, tehát a (3;4) ponthoz tartozik egy v(3;4) helyvektor is (melynek kezdőpontja az origó), így a komplex számok is kezelhetőek vektorokként. És ha kezelhetőek, akkor a tanult trigonometrikus dolgok is kiterjeszthetőek a komplex számokra.

Tanulmányainkból tudjuk, hogy minden P≠O pont egyértelműen felírható |OP|*(cosα + sinα) alakban, ahol |OP| a P pontnak az origótól vett távolsága. Ha P=O, akkor |PO|=|OO|=0, és nulla*bármi=0, emiatt az origó nem írható fel egyértelműen a fenti alakban. Azt is tanultuk, hogy a trigonometrikus függvények kiterjesztését úgy tettük meg, hogy vettük az (1;0) helyvektort, és elforgattuk óramutató járásával ellentétesen α szöggel, és mivel az (1;0) vektor az x-tengellyel esik egybe, ezért az α szög a v(0;1) és az OP→ vektorok pozitív irányú hajlásszöge.

Szükségünk van még az |OP| kiszámítására; azt tudjuk, hogy a P(a;b) pont esetén egy derékszögű háromszöget kapunk, ha a≠0 és b≠0, hogy a befogók hossza |a| és |b|, így az OP szakasz hosszát Pitagorasz tételéből kapjuk; |OP| =  |a|² + |b|² , a négyzetre emelés miatt az || elhagyható, így |OP| =  a² + b² . Például a P(3;4) pont az origótól gyök(3²+4²)=5 távolságra van, tehát |OP|=5. Arra nem nehéz rájönni, hogy ha valamelyik koordináta véletlenül 0 lenne, akkor is működik ez a képlet.

Minden ráhúzható egy-az-egyben a komplex számokra is; vegyük a z=a+bi≠0 számot, ez a szám a Z(a;b) pontban helyezkedik el a számsíkon. A fentiek értelmében ekkor a Z pont felírható Z(|OZ|*(cosα ; |OZ|*sinα) alakban, vagyis a z szám felírható |OZ|*cosα+|OZ|*i*sinα alakban, és |OZ| kiemelése után |OZ|*(cosα+i*sinα) alakban írható fel. A szakirodalom a 0 és a z szám távolságát r-rel szokta jelölni, ezért én is áttérek erre a jelölésre, tehát a z szám r*(cosα+i*sinα) felírható. Például a 3+4i szám trigonometrikus alakjához kell nekünk a 0-tól vett távolsága, ami  3²+4² =5 egység, és kell a (0;1) és a (3;4) helyvektorok pozitív irányú hajlásszöge, ezt egy egyszerű tangenssel ki tudjuk számolni;
tgα=4/3, erre α=~53,13° adódik, tehát a 3+4i szám trigonometrikus alakja 5*(cos(53,13°)+i*sin(53,13°). Természetesen a szög radiánban is megadható.

Most lássuk a feladatot; az i szám trigonometrikus alakja ránézésre is megmondható; 1*(cos(90°)+i*sin(90°)). Na, de miért is jó nekünk a trigonometrikus alak? Azért, mert ebből könnyedén tudunk gyököt vonni; Moivre képlete szerint a z szám n-edik gyökei:

ⁿ√r * `(cos((α+k*360°)/n)+i*sin((α+k*360°)/n))`, ahol k értékei egész számok, és 0-tól n-1-ig írjuk be, ezzel kapjuk meg a gyököket.

Tehát az i szám négyzetgyökei `√1 * (cos((90°+k*360°)/2)+i*sin((90°+k*360°)/2))` alakúak, ahol k={1;2}, így
-Ha k=1, akkor `√1 * (cos((90°+1*360°)/2)+i*sin((90°+1*360°)/2))` = `√1 * ((cos(225°)+i*sin(225°))`
-Ha k=2, akkor `√1 * (cos((90°+2*360°)/2)+i*sin((90°+2*360°)/2))` = `√1 * ((cos(405°)+i*sin(405°))`

Ebből az algebrai alakot, nemes egyszerűséggel, úgy kapjuk, hogy elvégezzük a trigonometrikus műveleteket és a beszorzást, és pont azt fogjuk kapni, amit a másik módszerrel kaptunk.

Persze ennél mi jobban is tudjuk hasznosítani ezt a képletet; térjünk vissza a z⁴=-16 egyenlethez. A -16 trigonometrikus alakja (mivel valós szám) 16*(cos(0°)+i*sin(0°)). Ha ebből 4. gyököt vonunk, akkor `⁴√16 * (cos((0°+k*360°)/4)+i*sin((0°+k*360°)/4))` lesz belőle, ahol k={0;1;2;3}. Itt is az algebrai alakot úgy kapjuk, hogy elvégezzük a műveleteket.

Tudom, hogy egyszerre sok és nehéz, de próbáld meg értelmezni, és ez alapján próbáld megoldani a másik részét a feladatnak. Ha nem megy valami, kérdezz bátran!
0