Segítsetek

Csatoltam képet.

1.
`A={a,b}`
`B={b,c,d}`

`A cap B={b}`
A fordított U betű a metszet. Ez a művelet megadja azoknak az elemeknek a halmazát, amelyeket mindkét halmaz tartalmaz. Ez itt jelenleg csak a `b`. Ha egy közös elem se lenne, akkor az eredmény egy üres halmaz.

`B\\A={c,d}`
A fordított perjel azt jelenti, hogy az első halmazból kivonom a második halmaz elemeit. Ha a második halmaz egyik eleme nincs benne az elsőben, akkor azzal nem foglalkozok. Ha benne van, akkor kiveszem.

`BtimesA`
Két halmaz Descartes-szorzata az a két halmaz elemeinek összes lehetséges párosítását tartalmazza.
`BtimesA=`
`\qquad\qquad a\qquad\qquad b`
`b\ \quad(b,a)\quad(b,b)`
`c\ \quad(c,a)\quad(c,b)`
`d\ \quad(d,a)\quad(d,b)`

`A\timesB=\{(b,a), (b,b), (c,a), (c,b), (d,a), (d,b)}`

https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian_Product_qtl1.svg


2.
Ami itt történik, azt matematikában úgy nevezik, hogy implikáció, és mind a 4 lehetséges logikai esetet tartalmazza ez a feladat, ezért remek példa.
Vegyük sorba a lapokat:

a) tök alsó
Az állítás első fele teljesül, ami azt jelenti, hogy a másodiknak is teljesülnie kéne. Azonban a lap nem szám, ezért erre a lapra az állítás hamis.

b) tök 10-es
Az állítás első fele teljesül, amiből következik, hogy a másodiknak is teljesülnie kéne. Ez teljesül is, mivel a 10-es egy szám, tehát itt az állítás igaz.

c) zöld alsó
Az állítás első fele nem teljesül, így nincs semmi kitétel, hogy a lap milyen értékű legyen. Az állítás igaz.

d) zöld 10-es
Itt ugyanúgy nem teljesül az állítás első fele, ezért nem kell igaznak lennie a másodiknak sem. Az állítás erre a lapra is igaz.


4.
`A={1;4;9;16;25;36;...}`
`B={4;8;12;16;20;...}`

`A` halmaz elemeit fel tudom írni úgy, hogy `A_n=n^2`, B halmaz elemeit pedig úgy, hogy `B_n=4n` (`n in Z^+`)
Ez alapján a halmaz elemeit kölcsönösen egyértelműen egymáshoz tudom rendelni `n` alapján, azaz a két halmaz számossága megegyezik.

a)
Az `A` halmazból 625 felírható úgy, mint `25^2`, azaz `n=25`. Ez alapján `B`-ből `4n=100`-at tudjuk hozzárendelni.

b)
A `B` halmazból 1000 felírható úgy, mint `4*250`, azaz `n=250`. Ez alapján `A`-ból `n^2=62500`-at tudjuk hozzárendelni.


3.
`A={21;22;...;39}`
`a,b in A`
`a rho b` értelmezve van, ha `a>b`

Példa, ahol van `rho` reláció a két elem között:
`a=22` és `b=21`
Reláció áll fenn, mivel `a>b`

Példa, ahol nincs `rho` reláció a két elem között:
`a=21` és `b=22`
Nem áll fent reláció, mivel `a le b`

Nem reflexív.
`a=b` esetén nem áll fenn a feltétel, hogy `a>b`, így `a rho b` nincs értelmezve.

Nem szimmetrikus.
Legyen `a>b`. Ekkor `a rho b` reláció fennáll, ellenben `b rho a` nem.

Tranzitív.
Legyen értelmezve, hogy `a rho b` és `b rho c`. Ekkor a feltétel miatt tudjuk, hogy `a>b` és `b>c`. Ebből viszont az következik, hogy `a>c`, azaz az `a rho c` reláció is értelmezett.