6)
A középső sort (z=2+5i) megcsinálom:

exp z:
`e^z=e^(2+5i)=e^2·e^(5i)=e^2·(cos(5)+i·sin(5))=...` vagy jó így, vagy ki kell 2 tizedesjegyre számolni, nem tudom.

sin z, cos z:
Tudjuk, hogy `e^(ix)=cos x + i·sin x`
amiből azt is, hogy `e^(-ix)=cos(-x) + i·sin(-x)=cos x - i·sin x`
ezért
`(e^(ix)+e^(-ix))/2=cos x`
és
`(e^(ix)-e^(-ix))/(2i)=sin x`

Most `sin z=(e^(i(2+5i))-e^(-i(2+5i)))/(2i)=(e^(-5+2i)-e^(5-2i))/(2i)=`
`=(e^(-5)·e^(2i)-e^(5)e^(-2i))/(2i)=`
`=(e^(-5)·(cos2 +i·sin2)-e^(5)(cos(-2)+i·sin(-2)))/(2i)=`
`=(e^(-5)·(cos2 +i·sin2)-e^(5)(cos2-i·sin2))/(2i)=`
`=((e^(-5)-e^(5))·cos2 +i·(e^(-5)+e^(5))sin2)/(2i)=`
`=(i·(e^(-5)-e^(5))·cos2 -(e^(-5)+e^(5))sin2)/(-2)`
Szóval
`sin z = (e^5+e^(-5))/2·sin2+i\ (e^5-e^(-5))/2·cos2`

`cos z = ... = (e^5+e^(-5))/2·cos2-i\ (e^5-e^(-5))/2·sin2`

Számold ki két tizedesre...

Általánosságban ez jönne ki:
`sin(a+ib) = (e^b+e^(-b))/2·sin a+i\ (e^b-e^(-b))/2·cos a`
`cos(a+ib) = (e^b+e^(-b))/2·cos a - i\ (e^b-e^(-b))/2·sin a`

folyt.köv.

6) folytatás:

`sqrt z = sqrt(2+5i)`

Gyökvonást exponenciális alakból lehet csinálni. Általánosságban:
`z = a+ib = r·e^(iφ)`
ahol
`r=sqrt(a^2+b^2)` a szám hossza
`tg\ φ = b/a` a szám szögének tangense. Ebből a szöget még trükkös lehet kiszámolni, mert a sík-negyedhez kell igazítani.
2+5i az első sík-negyedben van, ezért φ=arc tg 5/2
-3+4i a második síknegyedben van (rajzold fel, hogy lásd), ezért φ = π - arc tg 4/3
A szöget radiánban kell kiszámolni!

Tehát mondjuk z=2+5i esetén:
`r=sqrt(2^2+5^2)=sqrt(29)=5.385`
`φ=arc\ tg\ 5/2=1.19`
Tehát:
`z=2+5i=5.385·e^(i·1.19)`

És persze 2k·π-vel nagyobb szög is pont ugyanoda forog, ez a gyökvonásnál érdekes: n-edik gyöknek n értéke van.
`root(n)(z)=z^(1/n)=(r·e^(iφ))^(1/n)=(r·e^(i(φ+2kπ)))^(1/n)=r^(1/n)·e^(i(φ+2kπ)/n)`
Ahol `k` 0-tól `n`-1-ig megy, hisz ha `k=n`, ott már `φ/n+2π` lesz a kitevő, ami ugyanaz, mint a `k=0`-hoz tartozó `φ/n`.

Most:
`sqrt(z)=(5.385·e^(i·1.19))^(1/2)=sqrt(5.385)·e^(i(1.19+2kπ)/2)`
`sqrt(z)_1=sqrt(5.385)·e^(i(1.19)/2)=sqrt(5.385)·(cos((1.19)/2)+i·sin((1.19)/2) )`
`sqrt(z)_2=sqrt(5.385)·e^(i((1.19)/2+π))=sqrt(5.385)·(cos((1.19)/2+π)+i·sin((1.19)/2+π) )`
π-vel odébb a szinusz és a koszinusz is a mínusz egyszeres lesz, tehát együtt is felírható a kettő:
`sqrt(z)=±sqrt(5.385)·(cos(0.595)+i·sin(0.595) )`
már csak ki kell számolni őket.

Megjegyzem: ellenőrizheted magad mondjuk a WolframAlpha-val:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(2%2B5i)
Az alján az "All 2nd roots of .." alatt van mindkét megoldás.

---
`z^2=(2+5i)^2=2^2+2·2·5i+(5i)^2=4+20i-25=-21+20i`
A köb is hasonlóan...

7)
Számozzuk az alsó sort 1-nek, a bal oszlopot 1-nek.
Csábító lenne feketét rakni 1-4-be (a két fehér közé), ezzel leszedjük 1-5-öt, de akkor fehér 1-2-t elfoglalja és megakadályozza, hogy két szemet csináljon fekete.
A jó megoldás az, hogy 1-2 fekete, ezzel van egy szem, és utána már könnyen lehet egy másikat is csinálni: fehér nem rakhat 1-4-re mert öngyilkosság lenne, bárhová is rak, fekete mehet 1-4-re és kész a második szem.