A megoldás során úgy vettem, hogy `alpha, beta` és a magasság egy paraméter. Ha nem, akkor biztosan ki lehet számolni. Ez egy algebrai válasz a kérdésre, nem tudom, hogy azt keresed-e. Csatoltam rajzot.

A behúzott magasság hossza legyen `m`. Most felírhatod, hogy
`ctg(alpha)*m_1=ctg(x)*(m-m_1) `
és hogy
`ctg(beta)*m_1=tanx*(m-m_1)`
A kettőt összeszorzod. x tangense és kotangense összeszorozva 1 lesz.
`ctg(beta)*ctg(alpha)*m_1^2=(m-m_1)^2`
`ctg(beta)*ctg(alpha)*m_1^2=m^2-2mm_1+m_1^2`
`(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)*m_1^2+2mm_1-m^2=0`

A másodfokú megoldóképlet alapján felírhatod, hogy
`m_1={-2m+-sqrt(4m^2-4*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)*-m^2)}/{2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)}`

`{-2m+-sqrt(4m^2+4m^2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1))}/{2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)}`

`{-2m+-sqrt(4m^2*(1+(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)))}/{2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)}`

`{-2m+-2m*sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))}/{2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)}`

`2m*{-1+-sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))}/{2*(ctg(beta)*ctg(alpha)-1)}`

`m*{-1+-sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))}/{ctg(beta)*ctg(alpha)-1}`

Ez a C pontnak és ennek a vonalnak a távolsága. Eddig nem hiszem, hogy használtam volna valahol, hogy a háromszög hegyesszögű, de ha ezt még tovább akarom egyszerűsíteni, akkor szerintem kell.

Ennek a számnak mindenképp pozitívnak kell lennie és kisebbnek `m`-nél, tehát ha nem vasszük figyelembe az `m` tényezőt, egy 0 és 1 közötti számot kapunk. Mivel `alpha` és `beta` hegyesszög, a kotangensük pozitív. Ez alapján a kotangensek szorzata is pozitív.

Ha a kotangensek szorzata kisebb 1-nél:
A nevező negatív és -1 és 0 között van. A tört értéke 0 és 1 között van, ezért a számlálónak is egy -1 és 0 közötti számnak kell lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha fent összeadás van.

Ha a kotangensek szorzata nagyobb 1-nél:
A nevező pozitív, így a számlálónak is annak kell lennie. Ez csak úgy lehetséges, ha ismét összeadás van a számlálóban.

Ezek alapján
`m_1=m*{-1+sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))}/{ctg(beta)*ctg(alpha)-1}`

`m*{-1+sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))}/{(sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))-1)*(sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))+1)}`

`m_1=m*{1}/{sqrt(ctg(beta)*ctg(alpha))+1}`

Elnézést a lassú reagálásért, de sűrű napjaim voltak.

Sajnálom, hogy felületes volt a feladat megfogalmazása, jeleznem kellet volna hogy a háromszög oldalait veszem adottnak. Az általad választott paraméterek ezekből számíthatók.

Nagyon köszönöm a megoldásodat, eddig csak tőled kapta választ. Érdekes a megoldás stratégiája, korrekt a levezetés és még pontos eredményt is szolgáltat. :-)

Kiváncsi lettem, hogy némi farigcsálással mit lehet kihozni az utolsó képletből.

Legyen
BC = a
AC = b
AB = c

AM = c1
MB = c2
ctgα = c1/m
ctgß = c2/m
√(c1*c2) = m2

Ezután a fenti értékek behelyettesítésével levezettem a
h = m - m1
összefüggést, amire a
h = m*m2/(m + m2)
formulát kaptam!

Örültem, hogy a te képleted mögül is előbújt a remélt minta, a harmonikus közép!
Eddigi tapasztalatom alapján ugyanis minden olyan feladatnál, ahol valamilyen idomot - háromszög, négyzet, téglalap, félkör - kell egy háromszögbe illeszteni, az alapháromszög valamely két méretének a harmonikus közepe adja a megoldást.
A módszert lehet általánosítani, ha érdekel szívesen küldök rajzokat is.

A végére egy kédés: hogyan oldanád meg ezt a feladatot szerkesztéssel?

Mégegyszer köszönöm a tanulságos megoldásodat!

U.i: milyen szövegszerkesztőt használsz?