Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Hogyan kell megoldani?

greti.hathazi kérdése
35
Emelt matekról van szó. Teljes indukcióval kéne igazolni hogy az állítás igaz
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

1
bongolo { Aranyérmes } megoldása
Bizonyítandó: `17 | 7·5^(2n-1)+2^(3n+1)`

1. lépés: Ellenőrizzük `n=1`-re, hogy tényleg teljesül:
`7·5^(2-1)+2^(3+1)=35+16=51`
Ez éppen 3·17, tehát `n=1`-re teljesül a tétel.

2. lépés: Feltételezzük, hogy `n=k`-ra teljesül:
`7·5^(2k-1)+2^(3k+1)=17·m`

3. lépés: Megnézzük, hogy mi lesz `n=k+1` esetén:
`7·5^(2(k+1)-1)+2^(3(k+1)+1)=7·5^(2k+2-1)+2^(3k+3+1)=`
`=7·5^(2k-1)·5^2+2^(3k+1)·2^3=25·7·5^(2k-1)+8·2^(3k+1)=`
`=(17+8)·7·5^(2k-1)+8·2^(3k+1)=`
`=17·(7·5^(2k-1))+8·(7·5^(2k-1)+2^(3k+1))=`
Mindezek az átalakítások abból a célból történtek, hogy kihozzunk valahogy olyan kifejezést, amiben benne van a 2. lépésben lévő kifejezés. Sikerült, ennek a kifejezésnek az zárójeles rész-kifejezése, amit 8-cal szorzunk, az pont a 2. lépésben lévő egyenlőség bal oldala. Most behelyettesítjük helyébe a jobb oldalát:
`=17·(7·5^(2k-1))+8·(17·m)=`
`=17·(7·5^(2k-1)+8·m)`
ami azt jelenti, hogy ez a kifejezés osztható 17-tel.

4. lépés: Ezzel beláttuk, hogy `n=k+1`-re is teljesül a tétel. Mivel ez tetszőleges k-ra így teljesül, minden természetes számra ugyanígy öröklődik. A bizonyítás kész.
0