Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Lin.alg.
Sipka Gergő{ Tanár } kérdése
593
Ez, undorito, please help.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
2
AlBundy{ Polihisztor }
válasza
Képezzünk egy mátrixot a vektorokból mint oszlopvektorokból:
`[[-7,0,2,-2],[-1,9,-10,-5],[40,-45,40,35],[-10,-15,20,5]]`
Majd Gauss-eliminációval hozzuk lépcsős alakra a mátrixot:
`[[21,0,-6,6],[0,21,-24,-11],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]`
Már látjuk is, hogy a mátrix rangja 2, tehát a vektorok által kifeszített altér kétdimenziós. A lépcsős alakban a főelemeknek megfelelő vektorok lineárisan függetlenek. Vagyis az alábbi vektorok egy bázisát alkotják az altérnek:
`[[-7],[-1],[40],[-10]]` és `[[0],[9],[-45],[-15]]`
Másik lehetőség: képezzünk egy mátrixot a vektorokból mint sorvektorokból:
`[[-7,-1,40,-10],[0,9,-45,-15],[2,-10,40,20],[-2,-5,35,5]]`
Majd ugyanúgy hozzuk lépcsős alakra:
`[[3,0,-15,5],[0,3,-15,-5],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]`
A lépcsős alak nemnulla sorai is bázist alkotnak:
`[[3],[0],[-15],[5]]` és `[[0],[3],[-15],[-5]]`
Egyik módszerrel kapott bázis sem ortonormált, de Gram–Schmidt-ortogonalizációval könnyen azzá tehető.
Legyen `\mathbf{B}` az a mátrix, amelynek oszlopai az altér bázisát alkotják. Tehát pl.:
`[[3,0],[0,3],[-15,-15],[5,-5]]`
Ekkor a veítőmátrix: `\mathbf{P}=\mathbf{B}(\mathbf{B}^T\mathbf{B})^-1\mathbf{B}^T`
Sajnos a numerikus eredmények nem lesznek szépek, de a kapott eredményt könnyen ellenőrizheted, ugyanis a vetítőmátrixnak az altér összes vektorát helyben kell hagynia. MATLAB megoldást mellékeltem.
0
Sipka Gergő:
Ez nagyon szuper, és nagyon köszönöm. Viszont nem látom, hogy eliminálással, hogy jött ki az a mátrix.
5 éve0
bongolo:
(AlBundy a 21-szeresét írta oda, hogy ne legyenek törtek)
5 éve0
AlBundy:
Így van. Ugyebár a Gauss-eliminációt sokféleképpen lehet csinálni. Én az ún redukált sorlépcsős alakot állítottam elő (reduced row echelon form, RREF), ez ugyanis minden mátrixra egyértelmű. Ebben a főelemek mindenhol egységnyiek, de ahogy Bongolo mondja, megszoroztam 21-gyel a ronda törtek miatt.
5 éve0