1. A logikai ekvivalencia lényege az, hogy ha van két állításod, amelyek egymásból következnek, akkor azt mondjuk, hogy a két állítás logikailag ekvivalens egymással. Tételek megfogalmazásánál az "akkor és csak akkor" formában találkozunk vele.
A logikai táblát itt megtalálod:
https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-12-osztaly/allitasok-logikai-ertekek-muveletek/ekvivalencia

2. Az első, a második és az utolsó kártyáról láthatjuk, hogy azokra igaz, a harmadik, a negyedik és az ötödik kártya kérdéses, azokat meg kell nézni.

3. Itt lehúzod a páratlan, majd a 10-nél kisebb számokat. Amiket nem húztál át egyszer sem, azok lesznek a megfelelő számok.

4. Itt a legegyszerűbben úgy tudsz eljárni, hogy ha b=1, akkor a bármi lehet.
Reflexivitás: itt az a kérdés, hogy ha a=b, akkor működik-e a történet; apa azt jelenti, hogy a/a egész. Ez nyilván igaz, mivel mindig 1 lesz az eredmény.
Szimmetria: ez azt mondja, hogy ha apb és pba is teljesül, akkor a=b. Ennél a relációnál ez igaz lesz, mivel ha a=b, akkor apb=bpa=apa=1 (lásd fent), ha viszont a≠b, akkor vagy apb, vagy bpa nem teljesül, vagy egyik sem; ez azért van, mert ha apb igaz, vagyis a/b egész, akkor ennek reciproka lesz a bpa, vagyis a b/a, ami csak úgy lehetne egész, ha értéke 1 lenne, de azt már kiveséztük. Tehát a reláció szimmetrikus.
Tranzitivitás: ez azt mondja, hogy ha apb és bpc igaz, akkor apc is igaz. Például 20p10 és 10p2, akkor kérdés, hogy 20p2 igaz lesz-e, erre a válasz az, hogy igen. Könnyen rá lehet jönni, hogy ez igaz lesz minden esetben, tehát a reláció tranzitív. Levezetése a következőképpen megy;
Az nyilván igaz, hogy (k*a)pa igaz. Ha apb igaz, az azt jelenti, hogy a=k*b alakban felírható, ahol k egész, vagyis (k*b)pb lesz az eredmény. A bpc esetén b=m*c alakú, ahol m egész. Ebből következően k*b=k*m*c alakban felírható. Most az a kérdés, hogy apc, vagyis (k*m*c)pc igaz lesz-e, és a válasz az, hogy igen, mivel (k*m*c)/c értéke k*m, ami egész.

5. Az a kérdés, hogy párba állíthatóak-e a két halmaz elemei úgy, hogy mindenkinek jusson pár. Azzal már talán találkoztál, hogy az {1;2;3;...} és az {1;3;5;...} halmaz elemei, tehát a természetes számok és a páratlan számok párba állíthatóak úgy, hogy az {1;2;3;...} halmaz elemeit megszorozzuk 2-vel, és elveszünk 1-et, vagyis 1*2-1=1, így 1→1, 2*2-1=3, így 2→3, 3*2-1=5, így 3→5, stb. Ehhez az eredeti feladat szempontjából úgy jutunk, hogy 10-zel osztjuk az elemeket, tehát a hozzárendelés a következőképpen megy;
Legyen A{a₁;a₂;...ak} és B{b₁;b₂;...;bk}, akkor bk→ak, hogyha (bk/10)*2-1=ak, vagy másként: (bk/5)-1=ak
Ezen szabály szerint kiszámítható, hogy az 1000-hez az (1000/5)-1=199-et rendeljük. Hogy fordítva hogyan működik a hozzárendelés, ahhoz nemes egyszerűséggel a fenti egyenletet rendezzük bk-ra: bk=5*(ak+1), így a 101-hez az 510 lesz hozzárendelve.

6. A permutációnál tanultak szerint könnyedén kiszámolható, hogy az első 5!/(2!*2!)=30-féleképpen, a második 5!/3!=20-félkeéppen állítható sorba, tehát az elsőből lehet többfélét kirakni.

7. Itt egyszerűen át kell számolni valamelyik számrendszerből a másikba. Érdemes a 2-est átírni 10-esre:
1011100110₂ = 2+4+32+64+128+512=742, ez nagyobb, mint a 712.

8. -5 szimmetriatengely, a csúcsokon és a szemközti oldal felezőpontján megy át.
-Itt kérdéses, hogy a szögek derékszögűek-e; ha igen, akkor 4 tengely van, ami a szemközti csúcsokon és a szemközi oldalfelezőpontokon mennek át. Ha nem derékszög van, akkor csak a csúcsokon keresztül meg szimmetriatengely.
-4 szimmetriatengely; egészítsük ki négyzetté, és annak húzzuk be a tengelyeit.
-1 szimmetriatengely, vízszintesen.