Melyik igaz?

Az első válasz biztosan igaz, mert n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n² maradék nélkül osztható 100-al. Ha 2019-et adunk hozzá, akkor K mindig 19-re fog végződni. Még be kell látni, hogy n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n² ≡ 0 (mod 100). Legyen tehát L(n):=K-2019.
Ekkor L(n)= n²·(n + 1)²·(n-1)²·(n²+1)²·(n⁴+1). Legyen
M(n):=n·(n + 1)·(n-1)·(n²+1). Ekkor M(n) ≡ 0 (mod 30). Az
n·(n + 1)·(n-1) szorzat osztható 6-al az nyilvánvaló. Nézzük végig a következő Kifejezéseket M(5k), M(5k-1), M(5k-2), M(5k-3) és M(5k-4). Az is triviális, hogy M(5k) osztható 5-el.
M(5k-1)= 5·k·(5·k - 1)·(5·k - 2)·(25·k² - 10·k + 2)
M(5k-2)= 5·(5·k - 1)·(5·k - 2)·(5·k - 3)·(5·k² - 4·k + 1)
M(5k-3)= 5·(5·k - 2)·(5·k - 3)·(5·k - 4)·(5·k² - 6·k + 2)
M(5k-4)= 5·(k - 1)·(5·k - 3)·(5·k - 4)·(25·k² - 40·k + 17)
Tehát a másik négy kifejezés is osztható 5-el. Ebből következik, hogy M(n) ≡ 0 (mod 30),
M²(n) ≡ 0 (mod 900) és így L(n)≡ 0 (mod 900). L(n)-hez hozzáadva 2019-et 19-re fog végződni.

A másik válasszal kapcsolatban felmerült bennem az a sejtés, hogy nemcsak nem lehet négyzetszám, de még a primtényezős alakja is négyzetmentes lesz.

Még adós maradtam a≡ b (mod n) jel magyarázatával. Úgy ejtjük, hogy a kongruens b-vel modulo n. Ez azt jelenti, hogy n|(a-b) , azaz n osztója az (a-b)-nek. A kongruenciák lényegében ekvivalenciarelációnak foghatók fel, hasonlítanak a megszokott =-hez.

Ha beírunk néhány számot n helyére, akkor azt tapasztaljuk, hogy az eredmény mindig 19-re végződik, vagyis ha a 2019-et nem számoljuk, akkor 00-ra, ami azt jelenti, hogy az ` n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n²` osztható 100-zal. Ezt kellene belátnunk, hogy tényleg így van.
Elemi átalakításokkal könnyen eljuthatunk ehhez az alakhoz:
`n²*(n-1)²*(n+1)²*(n²+1)²*(n⁴+1)`
Egy szám akkor osztható 100-zal, hogyha osztható 25-tel. Azt nem nehéz belátni, hogy n akár páros, akár páratlan, mindig találunk a fenti szorzatban olyan tényezőt, amelyik osztható 4-gyel, tehát ezt letudtuk.
Most vizsgálódjunk aszerint, hogy n milyen számra végződik, ezt [n]-nel jelölöm;
-ha [n]=0, akkor n² osztható lesz 100-zal, ez már jó,
-ha [n]=1, akkor (n-1)² lesz 100-zal osztható,
-ha [n]=2, akkor (n²+1) 5-re fog végződni, ezáltal négyzete osztható lesz 25-tel,
-ha [n]=3, akkor (n²+1) 0-ra végződik, tehát négyzete osztható lesz 100-zal,
-ha [n]=4, akkor (n+1) végződik 5-re, így négyzete osztható 25-tel,
-ha [n]=5, akkor n² lesz 25-tel osztható,
-ha [n]=6, akkor (n-1)² lesz 25-tel osztható,
-ha [n]=7, akkor (n²+1) 0-ra végződik, így négyzete 100-zal osztható,
-ha [n]=8, akkor (n²+1) 5-re végződik, így négyzete osztható 25-tel,
-ha [n]=9, akkor (n+1)² lesz a nyerő.

Mivel minden lehetőséget megvizsgáltunk, ezért kijelenthetjük, hogy az `n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n²` értéke osztható 100-zal, vagyis mindig 00-ra fog végződni, ha ehhez hozzáadjuk a 2019-et, akkor az eredmény mindig 19-re fog végződni, a 19 pedig prímszám, tehát az állítás igaz.

A másik állítás; azt tudjuk, hogy egy szorzatban az utolsó két számjegyet csak a szorzótényezők utolsó két számjegyének szorzatának utolsó két számjegye adja. Az utolsó számjegyet az utolsó számjegyek szorzatának utolsó számjegye adja, és a 9-es végződés csak úgy jöhet össze, hogyha az utolsó számjegy a 3, tehát eszerint ezek a lehetőségek vannak:
03² = 09
13² = 169
23² = 529
33² = 1089
43² = 1849
53² = 2809
63² = 3969
73² = 5329
83² = 6889
93² = 8649

Ezek közül egyik sem végződik 19-re, tehát a K szám nem lehet négyzetszám.