Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Melyik igaz?

277
Legyen n pozitív egész szám és K = n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n² + 2019.

Az alábbi állítások közül melyik igaz?

- A K értékének utolsó két számjegyéből álló szám prím.
- Van olyan pozitív egész n, amely esetén K értéke négyzetszám.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Az első válasz biztosan igaz, mert n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n² maradék nélkül osztható 100-al. Ha 2019-et adunk hozzá, akkor K mindig 19-re fog végződni. Még be kell látni, hogy n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n² ≡ 0 (mod 100). Legyen tehát L(n):=K-2019.
Ekkor L(n)= n²·(n + 1)²·(n-1)²·(n²+1)²·(n⁴+1). Legyen
M(n):=n·(n + 1)·(n-1)·(n²+1). Ekkor M(n) ≡ 0 (mod 30). Az
n·(n + 1)·(n-1) szorzat osztható 6-al az nyilvánvaló. Nézzük végig a következő Kifejezéseket M(5k), M(5k-1), M(5k-2), M(5k-3) és M(5k-4). Az is triviális, hogy M(5k) osztható 5-el.
M(5k-1)= 5·k·(5·k - 1)·(5·k - 2)·(25·k² - 10·k + 2)
M(5k-2)= 5·(5·k - 1)·(5·k - 2)·(5·k - 3)·(5·k² - 4·k + 1)
M(5k-3)= 5·(5·k - 2)·(5·k - 3)·(5·k - 4)·(5·k² - 6·k + 2)
M(5k-4)= 5·(k - 1)·(5·k - 3)·(5·k - 4)·(25·k² - 40·k + 17)
Tehát a másik négy kifejezés is osztható 5-el. Ebből következik, hogy M(n) ≡ 0 (mod 30),
M²(n) ≡ 0 (mod 900) és így L(n)≡ 0 (mod 900). L(n)-hez hozzáadva 2019-et 19-re fog végződni.

A másik válasszal kapcsolatban felmerült bennem az a sejtés, hogy nemcsak nem lehet négyzetszám, de még a primtényezős alakja is négyzetmentes lesz.

Még adós maradtam a≡ b (mod n) jel magyarázatával. Úgy ejtjük, hogy a kongruens b-vel modulo n. Ez azt jelenti, hogy n|(a-b) , azaz n osztója az (a-b)-nek. A kongruenciák lényegében ekvivalenciarelációnak foghatók fel, hasonlítanak a megszokott =-hez.
Módosítva: 5 éve
1

Ha beírunk néhány számot n helyére, akkor azt tapasztaljuk, hogy az eredmény mindig 19-re végződik, vagyis ha a 2019-et nem számoljuk, akkor 00-ra, ami azt jelenti, hogy az ` n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n²` osztható 100-zal. Ezt kellene belátnunk, hogy tényleg így van.
Elemi átalakításokkal könnyen eljuthatunk ehhez az alakhoz:
`n²*(n-1)²*(n+1)²*(n²+1)²*(n⁴+1)`
Egy szám akkor osztható 100-zal, hogyha osztható 25-tel. Azt nem nehéz belátni, hogy n akár páros, akár páratlan, mindig találunk a fenti szorzatban olyan tényezőt, amelyik osztható 4-gyel, tehát ezt letudtuk.
Most vizsgálódjunk aszerint, hogy n milyen számra végződik, ezt [n]-nel jelölöm;
-ha [n]=0, akkor n² osztható lesz 100-zal, ez már jó,
-ha [n]=1, akkor (n-1)² lesz 100-zal osztható,
-ha [n]=2, akkor (n²+1) 5-re fog végződni, ezáltal négyzete osztható lesz 25-tel,
-ha [n]=3, akkor (n²+1) 0-ra végződik, tehát négyzete osztható lesz 100-zal,
-ha [n]=4, akkor (n+1) végződik 5-re, így négyzete osztható 25-tel,
-ha [n]=5, akkor n² lesz 25-tel osztható,
-ha [n]=6, akkor (n-1)² lesz 25-tel osztható,
-ha [n]=7, akkor (n²+1) 0-ra végződik, így négyzete 100-zal osztható,
-ha [n]=8, akkor (n²+1) 5-re végződik, így négyzete osztható 25-tel,
-ha [n]=9, akkor (n+1)² lesz a nyerő.

Mivel minden lehetőséget megvizsgáltunk, ezért kijelenthetjük, hogy az `n¹⁴ – n¹⁰ – n⁶ + n²` értéke osztható 100-zal, vagyis mindig 00-ra fog végződni, ha ehhez hozzáadjuk a 2019-et, akkor az eredmény mindig 19-re fog végződni, a 19 pedig prímszám, tehát az állítás igaz.

A másik állítás; azt tudjuk, hogy egy szorzatban az utolsó két számjegyet csak a szorzótényezők utolsó két számjegyének szorzatának utolsó két számjegye adja. Az utolsó számjegyet az utolsó számjegyek szorzatának utolsó számjegye adja, és a 9-es végződés csak úgy jöhet össze, hogyha az utolsó számjegy a 3, tehát eszerint ezek a lehetőségek vannak:
03² = 09
13² = 169
23² = 529
33² = 1089
43² = 1849
53² = 2809
63² = 3969
73² = 5329
83² = 6889
93² = 8649

Ezek közül egyik sem végződik 19-re, tehát a K szám nem lehet négyzetszám.
1