Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Igaz vagy hamis?
Nagy István
kérdése
538
1, Két irracionális szám mértani közepe irracionális.
2, Egy racionális és egy irracionális szám szorzata irracionális.
3, Létezik olyan irracionális szám, amelyhez hozzáadva a reciprokát racionális számot kapunk.
4, Egy racionális és egy irracionális szám összege lehet racionális.
2, Egy racionális és egy irracionális szám szorzata irracionális.
3, Létezik olyan irracionális szám, amelyhez hozzáadva a reciprokát racionális számot kapunk.
4, Egy racionális és egy irracionális szám összege lehet racionális.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
3
zsombi0806
{ Matematikus }
megoldása
1) Hamis
ellenpélda: `sqrt(2)\text{ és } sqrt8`
`G=sqrt(sqrt2*sqrt8)=sqrt(sqrt16)=sqrt4=2`
2) Igaz
Ha ez hamis lenne, akkor felírhatnád azt, hogy
`a/b*x=c/d\Rightarrow x=c/d*b/a=(cb)/(da)`
Mivel `a,\ b,\ c ` és `d` egészek, a páronkénti szorzatuk is az lesz, tehát `x` felírható lenne 2 egész hányadosaként. Ez ellentmondáshoz vezet, mivel `x` egy irracionális szám, azaz nem írható fel 2 egész hányadosaként.
EDIT: Egyetlen esetről megfeledkeztem, ha a racionális számod 0. Ebben az esetben nyilván a szorzat is 0 lesz, ami racionális. Köszönet AlBundy-nak.
3) Igaz(?)
Nem tudtam bizonyítani az ellenkezőjét, ezért szerintem ez igaz.
EDIT: Lentebb találsz több példát is, sőt, képleteket is arra, hogy hogy tudsz ilyen irracionáis számokat találni, de gondolom ezekért már kaptál értesítőt
4) Hamis
Ha ez igaz lenne, akkor felírhatnád, hogy:
`a/b+x=c/d`
`x=c/d-a/b=(cb-ad)/(db)`
Itt megint előáll az előző helyzet, hogy `x` felírható 2 egész szám hányadosaként, ami megint ellentmondás.
ellenpélda: `sqrt(2)\text{ és } sqrt8`
`G=sqrt(sqrt2*sqrt8)=sqrt(sqrt16)=sqrt4=2`
2) Igaz
Ha ez hamis lenne, akkor felírhatnád azt, hogy
`a/b*x=c/d\Rightarrow x=c/d*b/a=(cb)/(da)`
Mivel `a,\ b,\ c ` és `d` egészek, a páronkénti szorzatuk is az lesz, tehát `x` felírható lenne 2 egész hányadosaként. Ez ellentmondáshoz vezet, mivel `x` egy irracionális szám, azaz nem írható fel 2 egész hányadosaként.
EDIT: Egyetlen esetről megfeledkeztem, ha a racionális számod 0. Ebben az esetben nyilván a szorzat is 0 lesz, ami racionális. Köszönet AlBundy-nak.
3) Igaz(?)
Nem tudtam bizonyítani az ellenkezőjét, ezért szerintem ez igaz.
EDIT: Lentebb találsz több példát is, sőt, képleteket is arra, hogy hogy tudsz ilyen irracionáis számokat találni, de gondolom ezekért már kaptál értesítőt
4) Hamis
Ha ez igaz lenne, akkor felírhatnád, hogy:
`a/b+x=c/d`
`x=c/d-a/b=(cb-ad)/(db)`
Itt megint előáll az előző helyzet, hogy `x` felírható 2 egész szám hányadosaként, ami megint ellentmondás.
Módosítva: 5 éve
1
-
kazah: 3. Akkor már csak az a kérdés, hogy pl?
5 éve
0
-
gyula205: 3) esetén egy példával szolgálhatunk. Legyen x:=(7+√(13))/6 irracionális szám. Ekkor x+1/x=7/3, ami racionális. 5 éve 1
-
kazah: Igen, közben nekem is jött egy ötlet, az a+`1/a`= b `\sqrt(x)` = a helyettesítéssel. 5 éve 0
-
bongolo: 2+√3, 3+√8, 4+√15, stb. Általánosságban `a+sqrt(a^2-1)` mind jó. 5 éve 0
-
bongolo: Hmm, lehet, hogy ez ugyanaz, mint amit kazah ír? 5 éve 0
-
kazah: ott kimaradt egy vessző, szóval a + `1/a` = 5, visszafele értelmeztem, hogy `\sqrt(x) + \sqrt(1/x)` = 5, majd √ x = a helyettesítéssel megoldva. (lehet hogy 5 nem jó példa, de biztos van olyan racionális szám, ami jó) 5 éve 0
-
AlBundy: Azért a másodikra is van egy ellenpélda: ha a racionális szám a nulla. 5 éve 2
bongolo
{ 
}
válasza
A 3-hoz elég egyetlen egy példa, és olyat már kaptál, de leírom, én hogyan gondolkodtam.
Legyen az irracionális szám `x=a+sqrt b` alakú, ahol `a` és `b` racionálisok, de `sqrt b` irracionális.
`x+1/x = (a+sqrt b)+1/(a+sqrt b)=((a+sqrt b)^2+1)/(a+sqrt b)`
Bővítsük `(a-sqrt b)`-vel, hogy a nevező racionális legyen:
`=(((a+sqrt b)^2+1)(a-sqrtb))/(a^2-b)`
Csak a számlálót nézzük tovább, hogy az mikor racionális:
`(a^2+b+2a sqrtb+1)(a-sqrtb)`
Nem is írom fel a szorzat minden tagját, csak azokat, amiben `sqrtb` van:
`(...+2a sqrtb·a+...)-(a^2+b+...+1)sqrtb`
`sqrtb·(2a^2-(a^2+b+1))=sqrtb·(a^2-(b+1))`
Vagyis ha `a^2=b+1`, akkor kiesik az irracionális tag (`sqrtb`), így a tört racionális lesz.
Tehát minden `a+sqrtb` irracionális szám jó, ahol `b=a^2-1`
`a` és `b` nem feltétlenül kell egészek legyenek, pl. ez is jó:
`a=3/2, b=sqrt(9/4-1)=sqrt5/2, x=(3+sqrt5)/2`
Ha pedig `a=7/6`, akkor pont gyula205 példája jön ki (amit az első válasz kommentjébe írt).
Legyen az irracionális szám `x=a+sqrt b` alakú, ahol `a` és `b` racionálisok, de `sqrt b` irracionális.
`x+1/x = (a+sqrt b)+1/(a+sqrt b)=((a+sqrt b)^2+1)/(a+sqrt b)`
Bővítsük `(a-sqrt b)`-vel, hogy a nevező racionális legyen:
`=(((a+sqrt b)^2+1)(a-sqrtb))/(a^2-b)`
Csak a számlálót nézzük tovább, hogy az mikor racionális:
`(a^2+b+2a sqrtb+1)(a-sqrtb)`
Nem is írom fel a szorzat minden tagját, csak azokat, amiben `sqrtb` van:
`(...+2a sqrtb·a+...)-(a^2+b+...+1)sqrtb`
`sqrtb·(2a^2-(a^2+b+1))=sqrtb·(a^2-(b+1))`
Vagyis ha `a^2=b+1`, akkor kiesik az irracionális tag (`sqrtb`), így a tört racionális lesz.
Tehát minden `a+sqrtb` irracionális szám jó, ahol `b=a^2-1`
`a` és `b` nem feltétlenül kell egészek legyenek, pl. ez is jó:
`a=3/2, b=sqrt(9/4-1)=sqrt5/2, x=(3+sqrt5)/2`
Ha pedig `a=7/6`, akkor pont gyula205 példája jön ki (amit az első válasz kommentjébe írt).
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!
kazah
válasza
Szerintem ennél lényegesen egyszerűbb az én megoldásom 
x+`1/x` = 5 /szorozva x-szel
x²+1=5x
x²-5x+1 = 0
x1,2=`(5±\sqrt(21))/2`
Nagyjából ennyi, 5 helyett lehet más is.
x+`1/x` = 5 /szorozva x-szel
x²+1=5x
x²-5x+1 = 0
x1,2=`(5±\sqrt(21))/2`
Nagyjából ennyi, 5 helyett lehet más is.
1
-
gyula205: x+1/x=a/b (ahol a és b két nem nulla egész szám) alakú paraméteres egyenletet kell csupán megoldani. Ez egy másodfokú egyenletre vezet, amelynek egyik megoldása a+√(a^2-4b^2)/(2b). Ebből pedig |a|>2|b| feltétel adódik az a/b-re. 5 éve 1