A.
1.értelmezési tartomány x ∈ R

2.folytonos

3.zérushely f(0)=0

4.szélsőérték f'= `(1-x^2)/((1+x^2)^2)`=0, x₁=1, x₂=-1

5.monotonitás:
-∞-1 csökken,
-1 - 1 nő,
1 - ∞ csökken

6. inflexiós pont:
f''=`(-2x(3-x^2))/((1+x^2)^3)`=0 ahol a számláló 0, x₁=0, x₂=√3, x₃=-√3

-∞ - -√3 konkáv,
-√3 - 0 konvex,
0 - √3 konkáv,
√3 - ∞ konvex

7. határérték: folytonos függvény, a végtelenekben vizsgáljuk a határértékeket:

`\lim_{x \rightarrow \infty}=0`
`\lim_{x \rightarrow -\infty}=0`

8. páratlan: f(x)=-f(-x)

9. értékkészlet f(x) ∈ R -`1/2`≤ f(x) ≤ `1/2`
10. ábra

B. f(x)=`x^4-8x^2`

1.értelmezési tartomány x ∈ R

2. folytonos

3. zérushely f(0)=`(x^2)*(x^2-8)`=0; x₁=0, x₂=√ 8 , x₃=-√ 8 

4. szélsőérték f'=` 4x^3-16x`=`4x*(x^2-4)`=0, x₁=-2, x₂=2, x₃=0

5. monotonitás:
-∞ - -2 csökken
-2 - 0 nő,
0 - 2 csökken,
2 - ∞ nő

6. inflexiós pont, konvexitás:
f''=`12x^2-16`=0,
x₁=0,
x₂=2/√ 3 
x₃=-2/√ 3 

-∞- -2/√ 3  konkáv,
-2/√ 3  - 0 konvex,
0 - 2/√ 3  konkáv,
2/√ 3  - ∞ konvex

7. határérték: folytonos függvény, a végtelenekben vizsgáljuk a határértékeket:

`\lim_{x \rightarrow -\infty}=\infty`
`\lim_{x \rightarrow \infty}=\infty`

8. páros: f(x)=f(-x)

9. értékkészlet f(x) ∈ R x≥-16

10. ábra

Nem tudom milyen szempont a 10 (esetleg a periodicitás; egyik sem periodikus)