Egy word-fileból másoltam ki, ebben minden le van írva részletesen.


Egyszerű darabolásos játékok


Az alábbi feladatokban az egyszemélyes játékok egy speciális témakörével, a legegyszerűbb darabolásos feladatokkal foglalkozunk. A kitűzött feladatok sík- és térbeliek, azonos megoldási gondolatot járnak körül, és fokozatosan nehezednek.

1. feladat: Legkevesebb hány egyenes vágásra van szükségünk, hogy egy 5x7-es méretű csokoládét 35 darab 1x1-es részre szétvágjunk, ha
a) egy vágással egyszerre csak egy csokidarabot vághatunk el;
b) a csokidarabokat – ha szükséges – elmozdíthatjuk, egymásra is tehetjük stb.

2. feladat: Oldjuk meg az előző feladat b) részét, ha 5x5-ös méretű csokoládét 1x1-es darabokra vágunk szét.

3. feladat: Egy négy egység élhosszúságú kockát akarunk szétvágni 64 darab egységnyi élű kiskockára. Hány vágással tehetjük ezt meg, ha
a) a szétvágással keletkező darabokat nem mozdítjuk el egymástól;
b) az egyes vágások után kapott darabokat alkalmas módon átrendezhetjük?

4. feladat: Oldjuk meg az előző feladat b) részét, ha 5x5x5-ös méretű kockát 1x1x1-es darabokra vágunk szét.

Megoldások:

1. a) A feladat 34 vágással könnyen megoldható. Kevesebbel nem lehet: kezdetben egy darab csokoládé van, s minden vágás eggyel növeli az össz-darabszámot.

Megjegyzés:

A feladat „egzisztencia és konstrukció” típusú: nem elég a sejtett 34 értékre konstrukciót adni, azt is meg kell mutatni, hogy kisebb érték nem megfelelő.

b) Minden vágás legfeljebb megkétszerezheti a meglévő csokidarabok számát (2-es invariancia), ezért legalább 6 vágásra szükség van (25 = 32 <35).
Ha kb. a felezéses technikát alkalmazzuk, nem is nehéz a konkrét darabolást megadni. (Arra kell csak figyelni, hogy a vágások előtt a darabokat célszerűen egymásra helyezzük vagy egymás mellé pakoljuk.)

2. Mivel 5x5 = 25, és 24 <25 <25, ezért legalább 5 vágásra szükségünk van.
Azonban néhány próbálkozás után sejthető, hogy nem lesz elég az 5 vágás. Igaz, hogy a darabszámok legfeljebb kétszereződhetnek, de semmi sem biztosítja, hogy 5 vágással ténylegesen fel tudjuk osztani a csokoládét 1x1-es darabokra. Új ötletre van szükség.

Az első két vágás után mindig marad egy legalább 3x3-as összefüggő rész. A középső négyzet kiszabadításához szükség van további négy vágásra (hiszen négy „kötött” oldala van); ez összesen 6 vágás (ábra).



3. Az előző két feladat alapján a) 63 vágás; b) 6 vágás (felezéses technikával).

4. 5x5x5 = 125 <128 = 27, ezért elvileg elég 7 vágás.
De biztosan marad az első vágás után egy legalább 5x5x3-as, a második után egy legalább 5x3x3-as, a harmadik után pedig egy legalább 3x3x3-as összefüggő test. A 3x3x3-as kockához már elvileg is szükség van 5 vágásra (ui. 24 = 16 <3x3x3 = 27), de gyakorlatilag 6 vágás kell: a középső 1x1x1-es kocka minden lapját ki kell szabadítani.

Meglepő, de összesen 9 vágásra van szükség; éppen úgy, mint a 8x8x8-as kocka esetében.

Megjegyzés:
A megoldások megbeszélése után hangsúlyozzuk még egyszer a két fontos gondolatmenetet, a mozgatás nélküli vágásonkénti +1-es növekedést, illetve az áthelyezésekkel történő, vágásonkénti *2-es növekedést.