Hali, nekem ez jött ki eredményül:

A megoldást nem tudom, mert azért ilyen szinten még nem tudok deriválni, elvégre még nem is kéne még tudnom egyáltalán. Azonban ismerek egy oldalt, ami segíthet: derivative-calculator.net

ctg((5x-3)/(2x))+(e^(5x)*sqrt(x^3))/ln(1/x)-((7x-8)^(-3)+2/(-5x^2+3x))*6^(-x^3*cosx)

Azt hiszem ezt kell beillesztened a függvényhez, amit írtál. Ha rámész a "show steps"-re, akkor lebontja lépésekre és ha valamire ráhúzod az egeret, megmutatja, hogy abból mi lesz és milyen szabály alapján.

Nézzük sorban.
Azt jól tudod, hogy `ctg(x)` deriváltja `(-1)/(sin^2x)`, de az összetett függvényt nem jól csináltad. Nézzünk egy egyszerűbbet: `ctg(2x+1)` deriváltja:
Gondolj a belső függvény deriváltjára úgy, hogy bevezetsz egy új változót:
`y=2x+1`
`ctg(y)'=(-1)/(sin^2(y))·y'`
tehát nem x van a szinuszban, hanem ugyanaz az y, ami eredetileg volt a ctg-ben!! És persz y deriváltjával kell szorozni.
`=(-1)/(sin^2(2x+1))·(2x+1)'`
`=(-1)/(sin^2(2x+1))·(2)`

Most
`y=(5x-3)/(2x)`
`ctg(y)'=(-1)/sin^2(y)·y'`
`=(-1)/(sin^2((5x-3)/(2x)))·((5x-3)/(2x))^'`
A tört deriválását majdnem jól csináltad, de a teljes nevező négyzete lesz, nem csak az `x`-é:
`=(-1)/(sin^2((5x-3)/(2x)))·(5·2x-(5x-3)·2)/(2x)^2`

----
Aztán nézük a második tagot, pontosabban abból is csak az exponenciális tényezőt:
`(e^(5x))^'`
Itt is legyen `y=5x`:
`(e^y)^'=e^y·y'=e^(5x)·(5x)^'=e^(5x)·5`
Tehát nincs benne semmilyen `ln\ 5`!!

`sqrt(x^3)` deriváltját jól csináltad `(3/2·x^(1/2))`, de a tört számlálójában szorzat van, és a szorzat deriválása nem teljesen úgy megy. Szóval szorzat is van meg tört is, attól nehéz az egész. Érdemes felbontani darabokra: kezeljük a számlálót egyben:
Legyen `f(x)=e^(5x)·sqrt(x^3)`
A nevezőt is: `g(x)="ln" 1/x`
Sokat egyszerűsítünk a dolgunkon, ha itt az ln belső törtjétől megszabadulunk:
`g(x)="ln"\ x^(-1)=-"ln"\ x`

Szóval ezt a törtet kell deriválni:
`((f(x))/(-"ln"\ x))^'=(f'(x)·(-"ln"\ x)-f(x)·(-"ln"\ x)^')/(-"ln"\ x)^2`
Azt jól tudod, hogy `"ln"\ x` deriváltja `1/x`. Ráadásul most a belső függvényes `"ln"\ 1/x` deriválását is jól csináltad, hogy `1/(1/x)·(-1·x^(-2))`. Az előző trükkel viszont (hogy `"ln"1/x` helyett` -"ln"\ x` lett) egyszerűbb a deriválás: `-1/x`

Kell még `f(x)` deriváltja, és ezt érdemes külön leírni:
`f'(x)=(e^(5x)·sqrt(x^3))^'=(e^(5x)·5)·sqrt(x^3)+e^(5x)·(3/2·x^(1/2))`

És írjunk be mindent a törtbe (csak a második tag még mindig):
`(f'(x)·(-"ln"\ x)-f(x)·(-"ln"\ x)^')/(-"ln"\ x)^2=`
`=(-(5·e^(5x)·sqrt(x^3)+e^(5x)·3/2 sqrt(x))·"ln"\ x+e^(5x)·sqrt(x^3)·1/x)/("ln"\ x)^2`

---
A harmadikat külön írom.

Bár már elfogadtad a rossz választ jó megoldásnak, leírom a harmadikat is:

`(7x-8)^(-3)` deriválását jól csináltad.

A `2/(-5x^2+3x)` törtét viszont nem: a tört szabályával csináltad a deriválást, ami az, hogy 2 deriváltja szorozva a nevezővel, mínusz 2 szorozva a nevező deriváltjával, stb. Így akartad csinálni, de 2 deriváltja 0, ezért azt szorozva a nevezővel 0 lesz, nem pedig a nevező. Vagyis ez a tört deriváltja:
`(0-2(-10x+3))/(-5x^2+3x)^2`

Megjegyzem, hogy lehetett volna úgy is, hogy átírod a törtet hatványba:
`2·(-5x^2+3x)^(-1)`
persze ezt deriválva is ugyanaz jön ki, csak esetleg kevesebb a hibázás esélye.

Az hatvány deriválása egész jól indult, a belső függvény deriváltja viszont nem jó. `-x^3·cos x` egy szorzat, a szorzat szabályai szerint kell deriválni:
`-3x^2·cos x+ (-x^3·(-sin x))=-3x^2·cos x+ x^3·sin x`

Szóval az egész harmadik tagból ez lesz:
`(-3(7x-8)^(-4)·7 -2(-10x+3)/(-5x^2+3x)^2)·6^(-x^3·cosx)+`
`+ ((7x-8)^(-3)+2/(-5x^2+3x))·(6^(-x^3·cosx)·"ln"\ 6·(-3x^2·cos x+ x^3·sin x))`

És persze ezt mindet, mind a két tagot ki kell vonni a többiből, mert kivonva volt a deriválandó kifejezésben.

És a zárójelezésre is figyelj, abban is voltak gondok a megoldásodban.