Kátdeminziós a tér, ebben két lineárisan független vektor kifeszíti a teljes teret.

- Gyorsan (ránézésre) látszik, hogy mindhárom esetben függetlenek v₁ és v₂, hisz csak akkor lennének lineárisan összefüggőek, ha az egyik a másik λ-szorosa lenne (ez mondjuk ℝ³-beli 3 vektor esetén már nem igaz, de ℝ²-beli két vektorra igen).
- Az is gyorsan látszik, hogy mindhárom esetben ortogoálisak a v₁ v'₂ vektorok (mert skalárszorzatuk nulla).

Tehát akár jó is lehet mind a három, sajnos nem lehetett gyorsan kiejteni egyiket sem, mint rossz választ.

Meg kell tehát nézni, hogy a Gram-Schmidt eljárás tényleg ezeket adja-e.

Az eljárás ez: v₁ irányára vetíti a v₂ vektort, az lesz a w₂ vektor. Aztán a v₂-w₂ különbségvektor adja a merőleges v₂' vektort. Részletesen:

- A v₁ irányú e₁ egységvektornak és v₂-nek a skalárszorzata megadná v₂ vetületének a hosszát. Az e₁·v₂ skalárszorzat helyett a v₁·v₂ skalárszorzatot számoljuk, hogy ne kelljen e₁-et kiszámolni, de ez a hossznak a |v₁|-szeresét adja; nem baj.
- Az e₁ vektor hossz-szorosa lenne a vetület vektora, vagyis w₂. De az e₁ vektor helyett megint v₁-gyel számolunk, így a w₂ vetület-vektor |v₁|-szeresét kapnánk. De mivel már a hossznak is a |v₁|-szeresével számoltunk, w₂·|v₁|² jött ki.
- Tehát osztani kell a végén a |v₁|²=v₁·v₁ skalárszorzattal:
`w_2=(v_1·v_2)/(v_1·v_1)·v₁`
(A számlálóban és a nevezőben skalárszorzat van, azzal a skalárral kell a v₁ vektort megszorozni.)
Végül pedig:
`v_2^'=v_2-w_2`

Mondjuk a második esetben:
`v_1·v_2=(-2)·(-1)+1·(-1)=1`
`v_1·v_1=(-2)^2+1^2=5`
`w_2=1/5·v_1=(-2/5,1/5)`
`v₂^'=(-1,-1)-(-2/5,1/5)=(-3/5,-6/5)`
Ennek a `-2`-szerese van a feladatban, tehát az rossz.

A többi kettőt ellenőrizd te.