Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Egyenletes eloszlás
kapesmate
kérdése
364
Hogyan lehet a momentumgeneráló függvény segítségével felírni az (a;b)-n egyenletes eloszlás momentumait? Addig eljutottam, hogy felírom a Momentumgeneráló függvényt, de hogy kell kiszámolni határértékben (határérétkben mert s=/=0) a többit? Itt csak s valós szám!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, eloszlás, egyeneltes, momentum, generátor, derivált, valszám, analízis, határérték, valós
matek, eloszlás, egyeneltes, momentum, generátor, derivált, valszám, analízis, határérték, valós
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A momentumgeneráló függvény: `M(t)=(e^(tb)-e^(ta))/(t(b-a))`
A `k`-adik momentum ennek a `k`-adik deriváltja a `t=0` helyen. Nézzük az első momentumot:
`(dM)/(dt)=((be^(tb)-ae^(ta))t-(e^(tb)-e^(ta)))/(t^2(b-a))``=``(be^(tb)-ae^(ta))/(t(b-a))-(e^(tb)-e^(ta))/(t^2(b-a))`
Ennek kell a nullabeli határértéke. Használjuk a L'Hospital-szabályt:
`m_1=lim_{t->0}(be^(tb)-ae^(ta))/(t(b-a))-lim_{t->0}(e^(tb)-e^(ta))/(t^2(b-a))``=``lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(b-a)-lim_{t->0}(be^(tb)-ae^(ta))/(2t(b-a))``=``lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(b-a)-lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(2(b-a))``=``(b^2-a^2)/(b-a)-(b^2-a^2)/(2(b-a))``=``b+a-1/2(b+a)``=``(a+b)/2`
Az eredmény nyilván helyes, mivel az első momentum maga a várható érték. A többit is ugyanígy kell.
A másik (sokkal egyszerűbb) lehetőség, hogy a momentumgeneráló függvényt Laurent-sorba fejtjük:
`M(t)=(e^(tb)-e^(ta))/(t(b-a))=1/(b-a) sum_{n=0}^{infty} ((b^(n+1)-a^(n+1))t^(n))/((n+1)!)`
Ebből azonnal látszik, hogy a `k`-adik deriváltja a `t=0` helyen:
`m_k=(b^(k+1)-a^(k+1))/((k+1)(b-a))`
A `k`-adik momentum ennek a `k`-adik deriváltja a `t=0` helyen. Nézzük az első momentumot:
`(dM)/(dt)=((be^(tb)-ae^(ta))t-(e^(tb)-e^(ta)))/(t^2(b-a))``=``(be^(tb)-ae^(ta))/(t(b-a))-(e^(tb)-e^(ta))/(t^2(b-a))`
Ennek kell a nullabeli határértéke. Használjuk a L'Hospital-szabályt:
`m_1=lim_{t->0}(be^(tb)-ae^(ta))/(t(b-a))-lim_{t->0}(e^(tb)-e^(ta))/(t^2(b-a))``=``lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(b-a)-lim_{t->0}(be^(tb)-ae^(ta))/(2t(b-a))``=``lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(b-a)-lim_{t->0}(b^2e^(tb)-a^2e^(ta))/(2(b-a))``=``(b^2-a^2)/(b-a)-(b^2-a^2)/(2(b-a))``=``b+a-1/2(b+a)``=``(a+b)/2`
Az eredmény nyilván helyes, mivel az első momentum maga a várható érték. A többit is ugyanígy kell.
A másik (sokkal egyszerűbb) lehetőség, hogy a momentumgeneráló függvényt Laurent-sorba fejtjük:
`M(t)=(e^(tb)-e^(ta))/(t(b-a))=1/(b-a) sum_{n=0}^{infty} ((b^(n+1)-a^(n+1))t^(n))/((n+1)!)`
Ebből azonnal látszik, hogy a `k`-adik deriváltja a `t=0` helyen:
`m_k=(b^(k+1)-a^(k+1))/((k+1)(b-a))`
Módosítva: 5 éve
0
-
kapesmate: Köszönöm! 5 éve 0
-
bongolo: AlBundy, ugye úgy van, hogy most a Laurent sor n=-1-től megy hivatalosan, de az a tag véletlenül úgyis 0, ezért nem írtad ki? 5 éve 0
-
bongolo: Vagy persze lehetne inkább úgy is írni, hogy `1/(b-a)sum_(n=0)^∞ ((b^n-a^n)t^(n-1))/(n!)`, de akkor picit nehezebben látszik a `k`-adik derivált. 5 éve 0
-
AlBundy: Pontosan.
Írja is alul, hogy módosítottam a megoldásomon, épp ez volt a módosítás, csak hogy jobban leolvasható legyen a derivált.
5 éve
0