Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Függvényvizsgálat
profi20
kérdése
344
végezze el a teljes függvényvizsgálatot
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
Rantnad{ }
megoldása
g)
Értelmezési tartomány: x≠0, mivel 0-val kellene osztani, így x∈R\{0}.
Értékkészlet: ehhez előbb invertáljuk a függvényt:
`x = f(x) + 1/f(x)`, szorzunk f(x)-szel:
`x*f(x) = f(x)² + 1`, kivonunk x*f(x)-et:
`0 = f(x)² - x*f(x) + 1`, ezt pedig megoldjuk, mint egy másodfokú egyenletet:
`f(x) = (x±sqrt(x²-4))/2` Ennek kell megvizsgálnunk az értelmezési tartományát. Mivel negatív számból nem tudunk gyököt vonni, ezért
`x²-4≥0`, amire `x≥2` és `x≤-2` adódik, tehát a függvény értékkészlete: f(x)∈R\]-2;2[.
Zérushely: az értékkészlet nem tartalmazza a 0-t, így zérushelye nincs.
Szélsőérték: az értékkészletből következően nincs globális szélsőértéke. A lokális szélsőérték a fentiek fényében kitalálható;a x pozitív, akkor x=1-nél lesz a minimum helye, itt az érték f(x)=2, ha pedig x negatív, akkor maximumot találunk az x=-1 helyen, értéke f(x)=-2.
Paritás: ha páratlan, akkor -f(x)=f(-x) teljesül:
`-f(x) = -(x+(1/x)) = -x-1/x`
`f(-x) = -x+1/(-x) = -x-1/x`, ezek egyenlőek, tehát a függvény páratlan,
Ha páros, akkor f(x)=f(-x) teljesül, tehát:
`f(-x) = -x + 1/(-x) = -x - 1/x`, ez nem egyezik meg az eredeti függvénnyel, tehát nem páros.
Nem tudom, hogy tudsz-e már deriválni, de ha kell, úgy is leírom a megoldásokat.