c)
`y=1/x^6=x^{-6}`
`dy/dx=d/dx x^{-6}=-6*x^{-7}={-6}/x^7`

b)
`y=2/{root(4)(x^3)}=2*1/x^{3/4}=2*x^{{-3}/4}`
`dy/dx=d/dx 2*x^{{-3}/4}=2*{-3}/4*x^{{-7}/4}={-3}/{2x^{7/4}}={-3}/{2 root(4)(x^7)}`

a)
`y={5sqrtx-6root(3)(x)}/{x^2}=(5sqrtx-6root(3)(x))*x^{-2}`
`dy/dx=d/dx((5sqrtx-6root(3)(x))*x^{-2})=`
`(5sqrtx-6root(3)(x))*d/dx(x^{-2})+x^{-2}*d/dx(5sqrtx-6root(3)(x))`
`(5sqrtx-6root(3)(x))*(-2*x^{-3})+1/x^2*(d/dx(5x^{1/2})-d/dx(6x^{1/3}))`
`{-2*(5sqrtx-6root(3)(x))}/x^3+1/x^2*(5*1/2*x^{{-1}/2}-6*1/3*x^{{-2}/3})`
`{12root(3)(x)-10sqrtx}/x^3 + {5/{2sqrt{x}}-2/{root(3)(x^2)}}/x^2`

Na ezen a ponton bevezettem egy új változót, mert nem volt kedvem mindent gyökként vagy törtes hatványként felírnom.
`a=root(6)(x)`
`{12a^2-10a^3}/a^18 + {5/{2a^3}-2/{a^4}}/a^12`

`{12a^2-10a^3+{5a^6}/{2a^3}-{2a^6}/{a^4}}/a^18`

`{12a^2-10a^3+2.5a^3-2a^2}/a^18`

`{a^2(12-10a+2.5a-2)}/a^18`

`{10-7.5a}/a^16`

`{20-15a}/a^16`

`{20-15root(6)(x)}/x^{16/6}`

`{20-15root(6)(x)}/x^{8/3}`

d)
`y={sqrtx+2}/{root3(x)+2}=(sqrtx+2)*(root3(x)+2)^-1`
`dy/dx=d/dx ((sqrtx+2)*(root3(x)+2)^-1)=`
`(sqrtx+2)*d/dx((root3(x)+2)^-1)+(root3(x)+2)^-1*d/dx(sqrtx+2)`
`(sqrtx+2)*-1(root3(x)+2)^-2*d/dx(root3(x)+2)+(root3(x)+2)^-1*d/dx(sqrtx)`
`(sqrtx+2)*{-1}/{(root3(x)+2)^2}*1/{3root(3)(x^2)}+1/{root3(x)+2}*1/{2sqrt{x}}`

`a=root6(x)`
`(a^3+2)*{-1}/{(a^2+2)^2}*1/{3a^4}+1/{a^2+2}*1/{2a^3}`

`{-(a^3+2)}/{(a^2+2)^2*3a^4}+1/{(a^2+2)*2a^3}`

`{-2(a^3+2) + (a^2+2)*3a}/{(a^2+2)^2*6a^4}`

`{-2a^3-4 + 3a^3+6a}/{(a^2+2)^2*6a^4}`

`{a^3+6a-4}/{(a^4+4a^2+4)*6a^4}`

EDIT:
Minden, amit itt használtam, az azonosságok alapján történt, amiknek itt található egy remek magyarázata: https://youtu.be/YG15m2VwSjA
Egyébként az egész sorozat zseniális bevezetés a kalkulusz világába.