Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

X=? y=? (több gyök is van)

337
1. x³=5x+y
2. y³=5y+x
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
matek, egyenletrendeszer, nehéz, gyökök
2
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
Az egyenletnek 9 megoldása van, mivel ha kifejezed `y`-t az első egyenlőségből, aztán ezt behelyettesíted a másodikba, egy 9. fokú egyenletet kapsz `x`-re. Egy egyenletnek annyi (nem feltétlen különböző) megoldása van, ahányad fokú. Itt jól látszanak a megoldások: https://www.desmos.com/calculator/fkzbvl975d
Addig jutottam el, hogy fel tudtam írni egy negyedfokú egyenletet `x^2`-re, de ennek a megoldására még nem jöttem rá (ugye lehetne megoldóképlettel, de az annyira nem ismert; emellett a számológépem meg tud oldani negyedfokú egyenletet, de az csalásnak tűnik)

EDIT: megoldás a negyedfokúig:
`y=x^3-5x`
`(x^3-5x)^3=5(x^3-5x)+x`
`x^9-15x^7+75x^5-125x^3=5x^3-24x`
`x^9-15x^7+75x^5-130x^3+24x=0`
`x*(x^8-15x^6+75x^4-130x^2+24)=0`
Ez alapján `x=0` egy helyes megoldás. Tovább folytatva leoszthatunk `x`-szel, mivel már nem `x=0` megoldást keressük.
`x^8-15x^6+75x^4-130x^2+24=0`
`a=x^2`
`a^4-15a^3+75a^2-130a+24=0`
És itt tartok most.

EDIT 2:
Mivel relatív kicsik a számok, és nincs olyan sok osztójuk, próbálhatsz valami ilyet:
https://www.youtube.com/watch?v=xY7Vpxvm62A

Ezzel megkapod `a`-ra 4-et és 6-ot. A maradék `a^2-5a+1` lesz, amit megoldóképlettel megoldhatsz.

EDIT 3:
Most látom, hogy kazah is az utolsó egyenlőségre jutott, de egy kicsit más, és egyszerűbbnek tűnő úton.
Módosítva: 5 éve
2

`(x+y)^3`= `(x+y)(X^2-xy+y^2)`
és
`x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)`

Adjuk össze a két egyenletet:

`(x+y)(x^2-xy+y^2)` = 6 (x+y) /:(x+y) (Itt kell ellenőrizni, hogy mi történik, ha x=-y)

`x^3= 4x` -> x₁=0 ekkor y₁=0 és x₂=2, ekkor y₂=-2, x₃=2, ekkor y₃=-2 , visszahelyettesítve a második egyenletbe, ezek is megoldások.

`x^2-xy+y^2` = 6

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

`(x-y)(x^2+xy+y^2)`= 4(x-y) /:(x-y) (Itt kell ellenőrizni, hogy mi történik, ha x=y)
`x^3=6x` , x₁=0 már gyöke volt az egyenletnek, x₄=√6 és x₅=-√6, le kell ellenőrizni, hogy visszahelyettesítve a második egyenletbe, adja e a megoldást. (y₄=√6 és y₅=-√6) (adja)

`x^2+xy+y^2` = 4


Kivonjuk a két új egyenletet::

2xy=-2
xy=-1

`x^3= 5x -(1/x)` /*x (itt már leellenőriztük, hogy gyöke az egyenletnek)

`x^4 = 5x^2 - 1`

`x^2= a`

`a^2-5a + 1 = 0`
Kiszámoljuk a₁, a₂-t, ezekből négyzetgyököt vonunk., ekkor lesz a₁-ből x₆, x₇, és a₂-ből x₈, x₉, ezeket behelyettesítve mindkét alapegyenletbe leellenőrizhető a megoldás.

a₁= `(5+√29)/2` , ebből x₆=`√((5+√29)/2)` és x₇=`-√((5+√29)/2)`
a₂=`(5-√29)/2`, ebből x₈=`√((5-√29)/2)` és x₉= `-√((5-√29)/2)`

EDIT: zsombi javaslatása tövábbvezetve, a köszönet és a megoldás neki jár (különben én már 4-nél megálltam volna :D )
Módosítva: 5 éve
2