`(x+y)^3`= `(x+y)(X^2-xy+y^2)`
és
`x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)`
Adjuk össze a két egyenletet:
`(x+y)(x^2-xy+y^2)` = 6 (x+y) /:(x+y) (Itt kell ellenőrizni, hogy mi történik, ha x=-y)
`x^3= 4x` -> x₁=0 ekkor y₁=0 és x₂=2, ekkor y₂=-2, x₃=2, ekkor y₃=-2 , visszahelyettesítve a második egyenletbe, ezek is megoldások.
`x^2-xy+y^2` = 6
Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:
`(x-y)(x^2+xy+y^2)`= 4(x-y) /:(x-y) (Itt kell ellenőrizni, hogy mi történik, ha x=y)
`x^3=6x` , x₁=0 már gyöke volt az egyenletnek, x₄=√6 és x₅=-√6, le kell ellenőrizni, hogy visszahelyettesítve a második egyenletbe, adja e a megoldást. (y₄=√6 és y₅=-√6) (adja)
`x^2+xy+y^2` = 4
Kivonjuk a két új egyenletet::
2xy=-2
xy=-1
`x^3= 5x -(1/x)` /*x (itt már leellenőriztük, hogy gyöke az egyenletnek)
`x^4 = 5x^2 - 1`
`x^2= a`
`a^2-5a + 1 = 0`
Kiszámoljuk a₁, a₂-t, ezekből négyzetgyököt vonunk., ekkor lesz a₁-ből x₆, x₇, és a₂-ből x₈, x₉, ezeket behelyettesítve mindkét alapegyenletbe leellenőrizhető a megoldás.
a₁= `(5+√29)/2` , ebből x₆=`√((5+√29)/2)` és x₇=`-√((5+√29)/2)`
a₂=`(5-√29)/2`, ebből x₈=`√((5-√29)/2)` és x₉= `-√((5-√29)/2)`
EDIT: zsombi javaslatása tövábbvezetve, a köszönet és a megoldás neki jár (különben én már 4-nél megálltam volna
)