Matek

1. feladatsor

1)
Két szám számtani közepe a két szám összegének `1/2` része.
Két szám mértani közepe a két szám szorzatának négyzetgyöke.
`\text{geometriai közép }\le \text{ aritmetikai közép}`
(csak hogy legyen egy pár külföldi fogalom)

2)
Két vektor összegét úgy határozom meg, hogy a két vektort közös kezdőpontba tolom, és az összegvektor a közös kezdőpontból a két vektor által meghatározott paralelogramma szemközti csúcsába mutat.

Két vektor különbségét úgy határozom meg, hogy a két vektor közös kezdőpontba tolom, és a különbségvektor a kivonandó vektor végpontjából a kisebbítendő vektor végpontjába mutat.
VAGY
Két vektor különbségét úgy határozom meg, hogy a kisebbítendő vektort összeadom a kivonandó vektor ellentettjével.

Egy vektor skalárszorosának eredményénél a vektortól és a skalártól függően 4 eset különböztethető meg. Legyen a vektor `\vec{a}` és a skalár `alpha`.
a) `veca=vec0`
Ekkor a skalártól függetlenül a skalárszoros `vec0` lesz.
b) `veca\nevec0` és `alpha=0`
Ekkor a skalárszoros `vec0` lesz.
c) `veca\nevec0` és `alpha>0`
Ekkor `veca` `alpha`-szorosának iránya megegyezik `veca` irányával és nagysága `alpha`-szorosára változik.
d) `veca\nevec0` és `alpha<0`
Ekkor `veca` `alpha`-szorosának iránya ellentétes `veca`-éval és nagysága `absalpha`-szorosára változik.

3)
https://www.desmos.com/calculator/nlfhgn58ak
Úgy ábrázolod egyszerűen, hogy felveszed (0;0), (1;1), (-1;1), (2;4) és (-2;4) pontokat, és ezeken keresztül rajzolsz egy görbét

Jellemzés:
http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/fuggveny_masodfoku.htm

4.
A kérdés az, hogy hány félén választhatok ki 3 elemet 12-ből úgy, hogy számít a sorrendjük és minden elem különböző. Ezt ismétlés nélküli variációval tudod meghatározni.
`V_12^3={12!}/{(12-3)!}=12*11*10=1320`
(A `12*11*10` alak mér ismerős lehet. Az első helyre 12 embert választhatsz, a másodikra már csak 11 marad és a harmadikra a két választás után már csak 10).

5)
Ha lerajzolod, akkor látod, hogy ez egy egyenlő szárú háromszög. Ha behúzod az alaphoz tartozó magasságot, azaz a létra magasságát , akkor 2 egybevágó derékszögű háromszöget kapsz. Egy ilyen derékszögű háromszögnek az átfogója a létra egyik szára, az egyik befogója pedig a a létra lábainak végeinek távolságának fele (igen, ez tényleg egy háromszoros birtokos szerkezet és tényleg nagyon szépen hangzik. Azért így ne sokszor írd le ). A derékszögű háromszög másik befogója ekkor a keresett magasság. Pitagorasz tétel alkalmazásával felírhatod, hogy
`(2/2)^2+m^2=2.9^2`
`m^2=2.9^2-1^2`
`m^2=7.41`
`m=\sqrt{7.41}=2.72\text{ méter}`

6)
Oszlopdiagramot csatoltam. Nem kell pontosan ábrázolnod minden magasságot. Elég, ha kb. ott van, aztán szaggatott vonallal behúzod az y-tengelyre és odaírod az értéket. Az x-tengely neve "A tanulók kora", az y-tengelyé "A tanulók kora" (csak ezt nem sikerült megcsinálnom ebbe az online szerkesztőbe)

A módusz a leggyakrabban előforduló elem. Ez ebben az esetben a 16, 128 előfordulással.

A medián a rendezett halmaz középső eleme (páros elemszám esetén a két középső átlaga). Ez a halmaz 575 elemből áll, aminek a közepe ezek szerint a 288. elem lesz (`{n+1}/2`, ahol `n` a halmaz elemszáma). Mivel a táblázat szépen rendezett, könnyen meg tudod keresni ezt az elemet. Az első 16-os elem a 258. lesz (72+65+120+1), az utolsó a 385. (72+65+120+128). Ezek között az összes elem 16, tehát a 288. is.

2. feladatsor

1)
(Aritmetikai átlagnak még nem hallottam. Én úgy tudom, hogy számtani közép = aritmetikai közép = átlag. Eszerint azt mondod aritmetikai átlag esetében, hogy "aritmetikai aritmetikai közép", aminek nincs sok értelme. Kicsit olyan, mint amikor azt mondják, hogy LED dióda)

`n` szám aritmetikai közepét úgy határozzuk meg, hogy a számok összegét elosztjuk `n`-nel.

Egy halmaz módusza a halmaz leggyakrabban előforduló eleme. (Nem kell, hogy számhalmaz legyen.)

Egy számhalmaz mediánja az érték szerint rendezett számhalmaz középső eleme, páros elemszámú számhalmaz esetén a középső két elem számtani közepe.

2)
Egy szám racionális, ha felírható két egész szám hányadosaként.

3)
http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Kozeppontos_tukrozes.htm
Szerintem ez egy az egyben az ami neked kell.

4)
Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. Eddig a számjegyek összege 2+2+2+4=10. Hogy ez hárommal osztható legyen, x lehet 2, 5 vagy 8.

5)
Felrajzolhatsz egy derékszögű háromszöget, aminek az 3 pontja a repülőtér (`R`), a helikopter (`H`) és a célpont (`C`). Ekkor a derékszögű háromszögben `HC` oldallal szemben 35°-os szög van. A keresett oldal `RC`, azaz a másik befogó.
`\tan 35°={HC}/{RC}\Rightarrow RC={HC}/{\tan 35°}=1.7/{\tan 35°}=2.43\ km`

6)
Ha van egy másodfokú függvényed, aminek az alakja `a(x-u)^2+b`, azt úgy ábrázolod, hogy `x^2` képét jobbra tolod `u`-val, feltolod `b`-vel és megnyújtod `a`-val.

`f(x)=(x-3)^2-4`
Ennél `a=1`, `u=3` és `b=-4`.
https://www.desmos.com/calculator/fkh97u4198

Mivel `a` nem negatív, a függvény képe "vidám" lesz, tehát minimuma van. Ennek a minimumnak az helye ott van, ahol a négyzetes tag értéke 0.
`(x-u)^2=0`
`x-u=0`
`x=u`
Ezek szerint a minimum hely `u` értékével egyezik meg, ami ebben az esetben 3.
`f(u)=(x-u)^2+b=0^2+b=b`
A minimum érték `b` értékével egyezik meg, ami itt -4.
(Ha a függvénynek maximuma lenne, akkor is így kéne kiszámolni a helyet és az értéket, csak maximumnak írnád)