`2+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n=`

`2+2^2+2^3+...+2^n+`
`\ \ \ \ \ \ \ 2^2+2^3+...+2^n+`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2^3+...+2^n+`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...`
`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +2^n`

Ekkor mindegyik sor egy mértani sorozat, tehát az összegük `\frac{a_1*(q^n-1)}{q-1}`, ahol `a_1` a sor első eleme, `q` a hányados, tehát 2 (ezért a nevező 1 lesz), és `n` az adott sor elemeinek száma. Ez alapján a sorok:
`2*(2^n-1)`
`2^2*(2^{n-1}-1)`
`2^3*(2^{n-2}-1)`
`...`
`2^n*(2^1-1)`
Ezeket beszorzod:
`2^{n+1}-2`
`2^{n+1}-2^2`
`2^{n+1}-2^3`
`...`
`2^{n+1}-2^n`

Ha ezeket összeadod `n` darab `2^{n+1}` tag lesz, és abból kivonjuk a maradékot:
`n*2^{n+1}-(2+2^2+2^3+...+2^n)`
Itt kialakul egy újabb mértani sorozat a maradék tagokból, aminek a hányadosa szintén 2, `n` elemű, és az első eleme 2.
`n*2^{n+1}-2*(2^n-1)`
Kiemelsz az első tagból 2-t, és rendezed:
`2*(n*2^n-2^n+1)`