Mertan

a)
A hasáb `ABB'A'` lapjának egyik oldala lesz `AB`, másik oldala `AB'`. Mivel szabályos hasábról beszélünk, az oldallapok téglalapok, azaz a lapon `B`-nél derékszög lesz. Ez a két megadott oldal segítségével egy derékszögű háromszöget hoz létre, amiben a 3. oldal a kérdés. Ezt Pitagorasz-tétellel tudod kiszámolni.
`12^2-6^2=(AB')^2`
`AB'=\sqrt{108}`
Az oldalél `\sqrt{108}\ cm` hosszú.

b)
`BDC_\angle=45°` , mert BD egy négyzet átlója, DC az oldala, és a négyzet átlója 45°-ban találkozik az oldalakkal.

`\text{szinusz}={\text{szemközti}}/{\text{átfogó}}`
Az `AD'D_\angle` `AD'D_\triangle` derékszögű háromszög egyik hegyesszöge, tehát a szög szinusza `{AD}/{AD'}`. Mivel a lapok egybevágók, `AD'=AB'=12\ cm` és `AD=AB=6\ cm`
`AD'D_\angle=\sin^{-1}({AD}/{AD'})=\sin^{-1}({6}/{12})=\sin^{-1}(0.5)=30°`
(Elég hülye vagyok, mert ha van egy derékszögű háromszög, aminek az átfogója kétszer akkora, mint az egyik befogó, akkor az a 30-60-90-es háromszög lesz, szóval gyakorlatilag nem kell figyelembe venned a számolást)

`C'DC_\angle=60°`
A lapok egybevágósága miatt ez a háromszög másik hegyesszöge lesz.

c)
`AC` és `BD` a két átlója az alapnak, ami egy négyzet. A négyzet átlói felezik egymást, és egy átló `\sqrt{2}`-szöröse az oldalának. Ez azt jelenti, hogy `BO={6\ cm*\sqrt{2}}/2=3\sqrt{2}`

`OBB'` egy derékszögű háromszög, aminek ismerjük két befogóját (az egyiket most számoltuk, a másik a hasáb oldaléle), tehát Pitagorasz tétellel meg tudjuk határozni a harmadikat.
`(OB')^2=(OB)^2+(BB')^2=(3\sqrt{2})^2+12^2`
`OB'=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+\sqrt{108}^2}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}`

d)
`2*AB'O_\angle=AB'C_\angle`
`AOB'_\angle=90°`

`\tan(AB'O_\angle)={AO}/{OB'}={BO}/{OB'}={3\sqrt{2}}/{3\sqrt{14}}=1/\sqrt{7}`
`AB'O_\angle=\tan^{-1}(1/\sqrt{7})=20.7°`
`AB'C_\angle=2*AB'O_\angle=41.41°`
`\sin(AB'C_\angle)=0.661`
EDIT: Hibáztam, javítom! szzs-nek volt igaza a d) feladattal, rossz oldalt helyettesítettem be.

"Kell egy képlet ehhez"
Kell ehhez több képlet is. (Meg sok minden más)
Itt megnézheted, hogy szerintem mi-mennyi:
https://www.geogebra.org/m/jcbrufvm