Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Sorozatok

362
Valaki el tudná magyarázni lépésről lépésre a következő 4 sorozat határérték, monotonítás kiszámítását?
an= 5-12/nˇ2
bn= 2nˇ3-25
cn= (-1)ˇn x 12/n-2
dn= 2n-5/n-3
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

2
Először tisztázni kell, hogy hogy is vannak ezek a sorozatok. Egyrészt a hatványozást a ^ karakterrel szokták jelölni. Másrészt pedig nem zárójeleztél, így amit te írtál, az ezt jelenti:

`a_n=5-12/n^2`

`b_n=2n^3-25`

`c_n=(-1)^n*12/n-2`

`d_n=2n-5/n-3`

Biztosan ezekről van szó? Az utolsó nem inkább `d_n=(2n-5)/(n-3)` akart lenni? És az utolsó előttiben biztosan nem a nevezőben van az a `-2`?
0

Mind a négy sorozatról mellékeltem képet.


`a_n=5-12/n^2->5`

Minél nagyobb `n`, annál kisebb `12/n^2`, hiszen 12-t egy egyre nagyobb számmal osztjuk. Tehát `12/n^2` felülről tart nullához. Az ellentettje, `-12/n^2` pedig alulról tart nullához. Tehát a teljes sorozat szigorúan monoton növekedve tart az 5-höz.





`b_n=2n^3-25->infty`

Erről a sorozatról azonnal látszik, hogy a végtelenhez tart, hiszen ha `n` növekszik, akkor `n^3` meg pláne növekszik.





`c_n=(-1)^n*12/n-2->-2`

Először nézzük a `-2` nélkül, tehát legyen `c'_n=(-1)^n*12/n`. Ez egy alternáló sorozat, az egyes tagok előjelei váltakoznak. Viszont az látszik, hogy a 12-t mindig egyre nagyobb számmal osztjuk, így váltakozó előjellel bár, de a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek a nullához. Ez a sorozat tehát nem monoton, de nullához tart. Ha most visszatesszük a `-2`-t, akkor minden elem kettővel kisebb lesz, tehát ez a sorozat a `-2`-höz tart.





`d_n=(2n-5)/(n-3)->2`

Ezt könnyebb látni, ha a törtet egyszerűsítjük `n`-nel: `d_n=(2-5/n)/(1-3/n)`. Ezután vizsgáljuk a számlálót és a nevezőt külön. `5/n` és `3/n` nullához tart, tehát a teljes tört `(2-0)/(1-0)=2`-höz tart. A monotonitást pedig úgy vizsgálhatjuk, ha összehasonlítjuk a szomszédos tagokat:

`d_{n+1}=(2(n+1)-5)/(n+1-3)=(2n-3)/(n-2)`

`d_{n+1}-d_n=(2n-3)/(n-2)-(2n-5)/(n-3)=(-1)/((n-2)(n-3))`

Ebből azt látjuk, hogy `n gt 3`, akkor `d_{n+1}-d_n` negatív, vagyis `d_{n+1} lt d_n`. Tehát a teljes sorozat összességében nem monoton, viszont 3-nál nagyobb `n`-ekre már monoton csökkenő.
0