Sorozatok

Először tisztázni kell, hogy hogy is vannak ezek a sorozatok. Egyrészt a hatványozást a ^ karakterrel szokták jelölni. Másrészt pedig nem zárójeleztél, így amit te írtál, az ezt jelenti:

`a_n=5-12/n^2`

`b_n=2n^3-25`

`c_n=(-1)^n*12/n-2`

`d_n=2n-5/n-3`

Biztosan ezekről van szó? Az utolsó nem inkább `d_n=(2n-5)/(n-3)` akart lenni? És az utolsó előttiben biztosan nem a nevezőben van az a `-2`?

Mind a négy sorozatról mellékeltem képet.


`a_n=5-12/n^2->5`

Minél nagyobb `n`, annál kisebb `12/n^2`, hiszen 12-t egy egyre nagyobb számmal osztjuk. Tehát `12/n^2` felülről tart nullához. Az ellentettje, `-12/n^2` pedig alulról tart nullához. Tehát a teljes sorozat szigorúan monoton növekedve tart az 5-höz.





`b_n=2n^3-25->infty`

Erről a sorozatról azonnal látszik, hogy a végtelenhez tart, hiszen ha `n` növekszik, akkor `n^3` meg pláne növekszik.





`c_n=(-1)^n*12/n-2->-2`

Először nézzük a `-2` nélkül, tehát legyen `c'_n=(-1)^n*12/n`. Ez egy alternáló sorozat, az egyes tagok előjelei váltakoznak. Viszont az látszik, hogy a 12-t mindig egyre nagyobb számmal osztjuk, így váltakozó előjellel bár, de a sorozat tagjai egyre közelebb kerülnek a nullához. Ez a sorozat tehát nem monoton, de nullához tart. Ha most visszatesszük a `-2`-t, akkor minden elem kettővel kisebb lesz, tehát ez a sorozat a `-2`-höz tart.





`d_n=(2n-5)/(n-3)->2`

Ezt könnyebb látni, ha a törtet egyszerűsítjük `n`-nel: `d_n=(2-5/n)/(1-3/n)`. Ezután vizsgáljuk a számlálót és a nevezőt külön. `5/n` és `3/n` nullához tart, tehát a teljes tört `(2-0)/(1-0)=2`-höz tart. A monotonitást pedig úgy vizsgálhatjuk, ha összehasonlítjuk a szomszédos tagokat:

`d_{n+1}=(2(n+1)-5)/(n+1-3)=(2n-3)/(n-2)`

`d_{n+1}-d_n=(2n-3)/(n-2)-(2n-5)/(n-3)=(-1)/((n-2)(n-3))`

Ebből azt látjuk, hogy `n gt 3`, akkor `d_{n+1}-d_n` negatív, vagyis `d_{n+1} lt d_n`. Tehát a teljes sorozat összességében nem monoton, viszont 3-nál nagyobb `n`-ekre már monoton csökkenő.