4142)
Ez egy mértani sorozat lesz. `a_1` elemünk legyen `x`. A végén látni fogjuk, hogy `x` nagysága indifferens lesz. `q=1+4,7% => q=1,047`. Miért? Mert a kamatot is tőkésítjük, így az első év végére (vagyis a második év elejére) a következő képletet kell használni: `x+x*4,7%=x(1+4,7%)`!
Mit kér a feladat? `a_n≥3*x => a_n=a_1*q^(n-1) => x*1,047^(n-1)≥3*x` mivel `x>0`, mert a feladat ezt határozta meg, ezért `x`-szel eloszthatom mindkét oldalt! Vagyis `1,047^(n-1)≥3`
Innen `log_(1.047) 3=n-1 => ln3/(ln1.047)+1=n => n=24.92`. Vagyis ekkora kamat mellett legalább `25` évig kell a bankban tartani a pénzünket, hogy az háromszorosa legyen a betett összegnek.

4143)
`a_1=200000`
`a_2=200000+200000(1.045)=200000(1+1.045)`
`a_3=200000+200000(1+1.045)*1.045=200000(1+1.045+1.045^2)`
`a_4=200000+200000(1+1.045+1.045^2)*1.045=200000(1+1.045+1.045^2+1.045^3)`
`...`
`a_16=200000+200000(1+1.045+1.045^2+...+1.045^14)*1.045=200000(1+1.045+1.045^2+...+1.045^15)`
Ha megnézed, akkor a zárójelben egy mértani sorozat összegképlete lesz, ahol az első elem `1`, a `q=1.045`, `n=16`!
A mértani sorozat összege: `S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)` A képletbe beírva az adatokat: `S_n=1*(1.045^16-1)/(1.045-1) => S_n=22.72`
Tehát a `16.` év végéra a tőke: `200000*22.72=4543867 (Ft)`. Innen négy évig már csak kamatos kamattal kell számolni: `4543867*(1.045)^4=5.418646 (Ft)`.
Így Szilveszternek huszadik szülinapjára közel `5.5millió` forintja lesz.

4144)
Ez hasonlít az első feladatra!
`a_1=250000; q=1.05; a_n=a_1*q^(n-1)=400000`!
`a_n=250000*1.05^(n-1)=400000 => 1.05^(n-1)=1.6 => log_(1.05) 1.6=n-1 => ln1.6/ln1.05=n-1 => n=ln1.6/ln1.05+1 => n=10.63`. Vagyis tizenegy év múlva lesz a `250000 Ft`-ból `400000 Ft`.

4145)
Mindkét bank esetén az `a_1=1700000 Ft`
Fitying Bank:
`a_5=1000000*(1.04)^4+700000*(1.063)^4=2063640 Ft`
Peták bank:
Az öt év alatt 20 negyedév lesz. így itt az `n=20`!
`a_20=1700000*(1.019)^19=2430851 Ft`
Így inkább Peták bankot kell választani, hogy a lehető legtöbb pénz üssek az unka markát.