Mi a különbség a variáció és kombináció között?

Ismétlés nélküli variáció: számít a sorrend
Ismétlés nélküli kombináció: nem számít a sorrend

Például ha az a kérdés, hogy 5-féle fagyiból hányféleképpen tudsz egy tölcsérbe kérni 3 gombóc fagyit, akkor itt számít a sorrend, és az a válasz, hogy 5*4*3=60. Ha ugyanezt kehelybe kéred (tehát nem számít a sorrend), akkor a fentit osztod 3*2*1-gyel.

A feladatban ilyen szempontból számít a sorrend, mert először kiválasztod a töris, másodjára pedig a matekos ügyeletest.
Az ilyen feladatoknál célszerűbb könnyebben kezelhető alakra hozni, mondjuk úgy, hogy kisebb számokkal nézzük meg a feladatot. Például két gyerekből hányféleképpen lehet kinevezni őket? Nyilván 2-féleképpen, ellenben a te számításod szerint (2 alatt a 2)=1-féle lenne, tehát ez nem lesz jó.

Igazság szerint a komplett megoldás a következőképpen menne;

1. eset: először kiválasztjuk a matekost, utána a törist, erre 24*23 lehetőség van.

2. eset: először kiválasztjuk a törist, utána a matekost, erre szintén 24*23 lehetőség van.

Összesen tehát 24*23 + 24*23 = 2*24*23-féleképpen lehet kiválasztani az embereket, ha számít az, hogy kit választunk ki először.

Azért azt érezzük, hogy mindegy, hogy az A ember matekos és a B ember töris vagy a B ember töris és az A ember matekos, tehát a kapott számot osztanunk kell annyival, ahányféle sorrend felállítható köztük, az pedig pont 2, tehát 2*24*23/2=24*23-féle megoldás létezhet.

Jó tanács a későbbiekre; ha valamikor a sorrend nem számít (itt a tantárgyak sorrendje lényegtelen), akkor nemes egyszerűséggel tehetjük azt, hogy kiválasztunk egy konkrét felállást, és arra kiszámítjuk, hogy hányféle lehet. Ebben az esetben mondhatjuk azt, hogy először a matekost választjuk ki, aztán a törist, ezzel fixáltunk egy sorrendet a létezők közül, tehát azzal a későbbiekben nem kell külön számolnunk, hogy túlszámoltuk magunkat és osztogatni kell (ahogyan azt fent láthatod).

Például ha az a feladat, hogy a 25 gyerekből 5 csapatot akarunk kreálni, mindegyikben 1 csapatkapitánnyal, akkor hányféleképpen választhatóak a csapatokba, akkor két megoldási mód van;

1) Itt a csapatok sorrendje szerint számolunk;
1. eset: az ABCDE csapatokba választunk csapatkapitányt, erre 25*24*23*22*21 lehetőség van.
2. eset: az ABCED csapatokba választunk, erre szintén 25*24*23*22*21-féle lehetőség van.
.
.
.
És ezt csinálhatnánk szépen a 120. esetig. Aztán rájövünk, hogy, mivel mindegy, hogy előbb az A-ba, utána a C-be, utána az E-be, utána a D-be, utána a B-be választjuk ugyanazokat az embereket, mint előbb a B-be, utána a C-be, utána az E-be, utána a D-be, utána az A-ba, az pont ugyanaz az eset (118 másikkal együtt), ezért a kapott szorzatot el kell osztani 120-szal.

2) Kijelölünk egy sorrendet: ABCDE, ezekbe 25*24*23*22*21-féleképpen lehet kapitányt választani, ezek között nem lesz átfedés, és az összeset megszámoltuk.

Ebből a feladatból úgy lenne kombináció, hogy hányféleképpen lehet 5 gyereket kiválasztani, akik majd csapatkapitányok lesznek, ekkor ugyanis a gyerekek sorrendje sem számít.

Hasonlóan az eredetiben;hányféleképpen lehet két gyereket kiválasztani, hogy azok majd felelősek lesznek? Ebben az esetben az a mindegy, hogy B matekos lesz és A töris vagy fordítva, ezek 1 esetnek számítanak.

Igen, a két hetes kiválasztása tipikus kombinációs feladat, mivel mindegy, hogy előbb A-t választjuk, utána B-t vagy fordítva, az 1 esetnek számít. Ezen gondolatmenet szerit már össze is lehet számolni az eseteket; 24 fős osztály esetén 24*23-féleképpen lehet kiválasztani két embert, ha a sorrendjüket fontosnak vesszük, de érthető okokból nem az, így meg kell nézni, hogy az azonosnak tekinthető esetek hányszor lettek így megszámolva; azt mondtuk, hogy az AB és a BA eseteket ugyanannak tekintjük, nyilván ez bármelyik két gyerekre igaz, tehát minden esetet kétszer számoltunk így meg, tehát a számoltakat el kell osztanunk 2-vel, így 24*23/2-féleképpen lehet a két hetest kiválasztani.
Látható, hogy a levezetés során sehol nem használtam sem a kombináció, sem a variáció szót, te ezek ismerete nélkül is ki lehet számolni az eseteket, persze megfelelő gondolkodással (azzal pedig nem árulok el nagy titkot, hogy a kombinációnak ugyanez a levezetése, az "n alatt a k" jelölést csak a számolások rövidítéséhez használjuk, nem pedig elengedhetetlen eszköze a megoldásnak).