Exponenciális egyenletrendszerek

b)
I. `3*4^(x-2)+2*3^(y+1)=14`
II. `5*3^(y+2)-2*4^(x-1)=-17`
Első körben annyira átalakítanám a két egyenletet, hogy `x` is, és `y` is "önmagában" álljon!
I. `3*(4^x)/4^2+2*3*3^y=14 => 3/16*4^x+6*3^y=14`
II. `5*3^2*3^y-2/4*(4^x)=-17 => 45*3^y-1/2*(4^x)=-17`
És akkor most jön az ötlet: Legyen `a=4^x` és legyen `b=3^y`!!!
Így a következő egyenletrendszert kapom:
I. `3/16a+6b=14`
II. `45b-1/2*a=-17 => 90b+34=a`
II-t behelyettesítem I-be!
`3/16*(90b+34)+6b=14` beszorzok `16`-tal
`270b+102+96b=224` összevonok
`366b=122`
`b=1/3 => a=64`
Megvan `a` és `b` értéke, amit a fentiekbe behelyettesítek!
`a=4^x => 64=4^x => 4^3=4^x => x=3`!
`b=3^y => 1/3=3^y => 3^(-1)=3^y => x=-1`!

d)
I. `1/(2^x)+1/(3^y)=25/8`
II. `3^(y+1)=2^(x-3) => 3*3^y=2^x/(2^3)`
Itt is vezessünk be két új ismeretlent, csak hogy ne legyen annyira zavaró, hogy `x` és `y` a kitevőben van! Tehát: `a=2^x`, `b=3^y`!
I. `1/a+1/b=25/8`
II. `3b=a/8 => 24b=a`
II-t behelyettesítem I-be!
`1/(24b)+1/b=25/8` beszorzok `24b`-vel.
`1+24=75b`
`25=75b`
`b=1/3 => a=8`
`a=2^x => 8=2^x => 2^3=2^x => x=3`
`b=3^y => 1/3=3^y => 3^(-1)=3^y => y=-1`