11. Matek

24)
`a_{1}+a_2+a_3=57\Rightarrow a+aq+aq^2=57`
`a_1-a_3=15\Rightarrow a-aq^{2}=15`
Ha a kettőt összeadod, akkor azt kapod, hogy:
`2a+aq=72`
`a*(q+2)=72`
Vissza a második egyenlőséghez:
`a-aq^{2}=15`
`a*(1-q^2)=15`
A kettőt elosztod, és `a` kiesik:
`{q+2}/{1-q^2}=72/15`
`15q+30=72-72q^2`
`72q^2+15q-42=0`
`q_1=2/3\qquad q_2=-7/8`
Igazából nem tudom, hogy a számtani sorozat hányadosa lehet-e negatív, de szerintem lehet, úgyhogy nem zárhatod ki azt a gyököt azonnal.

Vissza az első két egyenlet összegéhez:
`a*(q+2)=72`
`q_1`:
`a*(2/3+2)=72`
`a*8/3=72`
`a=72*3/8=27`

`q_2`:
`a*(-7/8+2)=72`
`a*9/8=72`
`a=72*8/9=64`

Leellenőrizheted, mindkettővel működik a két egyenlet.

25)
`a_1+a_2+a_3+a_4=468`
`a+aq+aq^2+aq^3=468`

`a_5+a_6+a_7+a_8=292500`
`aq^4+aq^5+aq^6+aq^7=292500`
Kiemelhetsz `q^4`-t:
`q^4*(a+aq+aq^2+aq^3)`

Ezt osztod az első egyenlettel, és az marad, hogy:
`q^4=625`
`q_1=5\qquad q_2=-5`
`q_1`:
`a+5a+25a+125a=468`
`156a=468`
`a=3`

`q_2`:
`a-5a+25a-125a=468`
`-104a=468`
`a=-9/2`

Ezeket is letesztelheted, a negatívval is működik.

28)
Legyen a középső tag `a`. Ekkor a három szám összege:
`(a-d)+a+(a+d)=6`
`3a=6`
`a=2`

Most a mértani sorozatban fogok számolni:
(első és második elem)
`((2-d)+5)*q=2+2`
`4/q=7-d`

(második és harmadik elem)
`(2+2)*q=(2+d)+1`
`4q=3+d`

A két egyenlőséget összeszorzod, q kiesik és azt kapod, hogy:
`16=(7-d)(3+d)`
`16=21-3d+7d-d^2`
`-d^2+4d+5=0`
`d_1=5\qquad d_2=-1`

`d_1`:
A mértani sorozat 3 eleme 2, 4 és 8. Kiszámolhatod az egyenlőségekből is, de jól látszik, hogy `q_1=2`

`d_2`:
A mértani sorozat 3 eleme 8, 4 és 2. Ezt is kiszámolhatod, de itt is látszik, hogy `q_2=0.5`

29)
Ugyanúgy a sorozat második eleme körül fogok számolni. Ekkor a három elem:
`12/q,12,12q`
Számtani sorozat lesz belőlük, így az új sorozat első és második, illetve második és harmadik közötti különbségei megegyeznek.

`(12+3)-(12/q+4)=(12q+1)-(12+3)`
`15-12/q-4=12q+1-15`
`11-12/q=12q-14`
`12q+12/q-25=0`
`12q^2-25q+12=0`
`q_1=3/4\qquad q_2=4/3`

Nekem is segithetnétek
köszi