Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Kérlek segitsetek.
viktr112
kérdése
869
Keresd meg a legkisebb olyan 3jegyű számot , amelynek pontosan 12 osztója van!sorold fel az összes osztóját
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Általános iskola / Matematika
Válaszok
2
murvaidavid750
megoldása
108 a legkiseb harom jegyu szam ami oszhato 12-vel
0
- Még nem érkezett komment!
Rantnad
{ 
}
válasza
Egy szám osztóinak számát úgy tudhatjuk meg, hogy
-felírjuk prímtényezős alakban,
-a hatványok kitevőihez hozzáadunk 1-et,
-és az így kapott számokat összeszorozzuk.
Például vegyük a 60-at. A 60 prímtényezős felbontása 2²*3*5, itt a hatványkitevőkhöz 1-et adva a 3, 2 és 2 számokat kapjuk, ezek szorzata 3*2*2=12, tehát a 60-nak 12 osztója van, és nem is nehéz ezeket összeszedni; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60.
Tehát mi egy olyan háromjegyű számot keresünk, amiből ilyen módon 12-t kapunk.
Első körben nézzük meg, hogy a 12-t hogyan tudjuk megkapni szorzatalakban; 12=
12
2*6
3*4
2*2*3, több lehetőség nincs. Ezeket az eseteket vizsgáljuk meg;
1) 12 úgy lehet, hogyha egy darab prím hatványaként felírható, és a kitevő 11. A legkisebb ilyen szám a 2¹¹=2048, ez persze nem négyjegyű, tehát nem lesz jó.
2) 2*6-hoz az kell, hogy az egyik prímtényező kitevője 1 legyen, a másiké 5. Nézzük meg, hogy itt milyen lehetőségeket találhatunk;
2*3⁵=486
Ha növeljük az alapokat, akkor csak nagyobb számokat kaphatunk eredménynek. A vizsgálódást úgy kezdtük, hogy a kisebb prím kitevője volt a kisebb, most nézzük fordítva:
2⁵*3=96, ez túl kicsi
2⁵*5=160
Tehát ha az egyik prím kitevője 1, a másiké 5, akkor a legkisebb szám a 160.
3) 3*4-hez az egyik kitevő 2, a másik 3 kell, hogy legyen;
2²*3³=108, ez már eléggé esélyes ahhoz, hogy a legkisebb ilyen legyen.
Innen egyszerűbb befejezni a feladatot úgy, hogy megnézzük, hogy a nála kisebb számoknak hány osztója van;
100=2²*5², neki 3*3=9 osztója van.
101=101, mivel prímszám, így neki 2 osztója van.
102=2*3*17, tehát neki 2*2*2=8 osztója van.
103=103, ő is prímszám, 2 osztója van.
104=2³*13, így 4*2=8 osztója van.
105=3*5*7, így 2*2*2=8 osztója van.
106=2*53, 4 osztója van
107 szintén prímszám, 2 osztóval.
Tehát valóban a 108 a legkisebb. Osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 18, 27, 36, 54, 108
Ehhez azonban az első válasznak semmi köze... Véletlen egybeesés, hogy a keresett szám osztható 12-vel, de ha egy szám osztható 12-vel, akkor nem feltétlenül van 12 darab osztója, elvégre a 12 is osztható 12-vel, mégsincs 12 osztója. De ha például az lett volna a feladat, hogy a legkisebb 8 osztóval rendelkező számot kellett volna megtalálni, akkor a válasz a 102 lett volna, és nem a 104, ami a legkisebb 8-cal osztható háromjegyű szám.
-felírjuk prímtényezős alakban,
-a hatványok kitevőihez hozzáadunk 1-et,
-és az így kapott számokat összeszorozzuk.
Például vegyük a 60-at. A 60 prímtényezős felbontása 2²*3*5, itt a hatványkitevőkhöz 1-et adva a 3, 2 és 2 számokat kapjuk, ezek szorzata 3*2*2=12, tehát a 60-nak 12 osztója van, és nem is nehéz ezeket összeszedni; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60.
Tehát mi egy olyan háromjegyű számot keresünk, amiből ilyen módon 12-t kapunk.
Első körben nézzük meg, hogy a 12-t hogyan tudjuk megkapni szorzatalakban; 12=
12
2*6
3*4
2*2*3, több lehetőség nincs. Ezeket az eseteket vizsgáljuk meg;
1) 12 úgy lehet, hogyha egy darab prím hatványaként felírható, és a kitevő 11. A legkisebb ilyen szám a 2¹¹=2048, ez persze nem négyjegyű, tehát nem lesz jó.
2) 2*6-hoz az kell, hogy az egyik prímtényező kitevője 1 legyen, a másiké 5. Nézzük meg, hogy itt milyen lehetőségeket találhatunk;
2*3⁵=486
Ha növeljük az alapokat, akkor csak nagyobb számokat kaphatunk eredménynek. A vizsgálódást úgy kezdtük, hogy a kisebb prím kitevője volt a kisebb, most nézzük fordítva:
2⁵*3=96, ez túl kicsi
2⁵*5=160
Tehát ha az egyik prím kitevője 1, a másiké 5, akkor a legkisebb szám a 160.
3) 3*4-hez az egyik kitevő 2, a másik 3 kell, hogy legyen;
2²*3³=108, ez már eléggé esélyes ahhoz, hogy a legkisebb ilyen legyen.
Innen egyszerűbb befejezni a feladatot úgy, hogy megnézzük, hogy a nála kisebb számoknak hány osztója van;
100=2²*5², neki 3*3=9 osztója van.
101=101, mivel prímszám, így neki 2 osztója van.
102=2*3*17, tehát neki 2*2*2=8 osztója van.
103=103, ő is prímszám, 2 osztója van.
104=2³*13, így 4*2=8 osztója van.
105=3*5*7, így 2*2*2=8 osztója van.
106=2*53, 4 osztója van
107 szintén prímszám, 2 osztóval.
Tehát valóban a 108 a legkisebb. Osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 18, 27, 36, 54, 108
Ehhez azonban az első válasznak semmi köze... Véletlen egybeesés, hogy a keresett szám osztható 12-vel, de ha egy szám osztható 12-vel, akkor nem feltétlenül van 12 darab osztója, elvégre a 12 is osztható 12-vel, mégsincs 12 osztója. De ha például az lett volna a feladat, hogy a legkisebb 8 osztóval rendelkező számot kellett volna megtalálni, akkor a válasz a 102 lett volna, és nem a 104, ami a legkisebb 8-cal osztható háromjegyű szám.
0
- Még nem érkezett komment!