A lineáris hőtágulási együttható (legyen `\alpha`) megmondja, hogy `1\ K(°C)` változásra az eredeti hosszúság hányszorosával lesz hosszabb a rúd. Ez képletesen úgy néz ki, hogy `\Deltal=l_{0}*\alpha*\DeltaT`
Legyen `l_{k}` a melegítés utáni teljes hossz.
`l_{k}=l_{0}+\Deltal=l_{0}+l_{0}*\alpha*\DeltaT=l_{0}*(1+\alpha*\DeltaT)`

a)
`\alpha=2.8*10^{-5}\frac{1}{K}`
`\Deltal=1\ cm`
`l_{0}=480\ cm`

`\Deltal=l_{0}*\alpha*\DeltaT`
`\DeltaT=\frac{\Deltal}{l_{0}*\alpha}=\frac{1\ cm}{480\ cm*2.8*10^{-5}\frac{1}{K}}=\frac{3125}{42}K\approx74.4\ K=74.4\ °C`

b)
Ezt elképzelheted úgy, hogy 3 dimenzióba tágul lineárisan. Ezt egy `V_{0}=a*b*c` területű téglalapnál úgy írhatod fel, hogy az új terület a három lineárisan tágult él által meghatározott téglalap térfogata.
`V_{k}=[a*(1+\alpha*\DeltaT)]*[b*(1+\alpha*\DeltaT)]*[c*(1+\alpha*\DeltaT)]`
`V_{k}=a*(1+\alpha*\DeltaT)*b*(1+\alpha*\DeltaT)*c*(1+\alpha*\DeltaT)`
`V_{k}=a*b*c*(1+\alpha*\DeltaT)^{3}`
`V_{k}=V_{0}*(1+\alpha*\DeltaT)^{3}`

Ha ezt a kifejezést kibontod, észrevehetsz valamit.
`(1+\alpha*\DeltaT)^{3}=`
`1+3\alpha\DeltaT+3\alpha^{2}\DeltaT^{2}+\alpha^{3}\DeltaT^{3}`
Ebben észreveszel egy `\alpha^{2}` és egy `\alpha^{3}` szorzót. `\alpha` már eredetileg is egy borzalmasan kicsi szám, a négyzete és köbe pedig annyira kicsi lesz, hogy az ilyen pontosságú számolásoknál elhanyagolható.
`(1+\alpha*\DeltaT)^{3}\approx(1+3\alpha\DeltaT)`

A térfogati hőtágulási együtthatót (hasonlóan, mint a lineárisat) úgy kapom meg, hogy a térfogat változását elosztom a hőmérséklet változásával.
`\frac{\DeltaV}{V_{0}\DeltaT}=\frac{V_{k}-V_{0}}{V_{0}\DeltaT}\approx\frac{V_{0}*(1+3\alpha\DeltaT)-V_{0}}{V_{0}\DeltaT}=\frac{V_{0}*[(1+3\alpha\DeltaT)-1]}{V_{0}\DeltaT}=\frac{1+3\alpha\DeltaT-1}{\DeltaT}=\frac{3\alpha\DeltaT}{\DeltaT}=3\alpha`

Ez azt jelenti, hogy a térfogati hőtágulás együtthatója megközelítőleg a lineáris hőtágulás együtthatójának a háromszorosa.

c)
Na mindezek alapján használhatod a megfelelő képletet. Itt a teljes térfogatot kérdezik, amit megad ez:
`V_{k}=V_{0}*(1+\alpha*\DeltaT)^{3}`

Behelyettesíted az adatokat:
`V_{k}=800\ cm^{3}*(1+2.8*10^{-5}\frac{1}{K}*266\ K)=805.9584\ cm^{3}\approx806\ cm^{3}`