Matek

Itt sincs rajta a képen, hogy mi a feladat.

a)
`x=(2+sqrt5)/2 > (2+sqrt4)/2=(2+2)/2=2` tehát `x > 2`
`x=(2+sqrt5)/2 = (sqrt4+sqrt5)/2 < (sqrt5+sqrt5)/2=sqrt5` tehát `x < sqrt5`
Ezért `x ∈ I` igaz.

b)
Próbáld meg azt is hasonlóan `(sqrt5 > sqrt1` illetve `2 < 2·sqrt5)`

c)
`1/(sqrt5-2)=1/(sqrt5-2)·(sqrt5+2)/(sqrt5+2)=(sqrt5+2)/(5-2^2)=sqrt5+2`
`1/(2+sqrt3)=1/(2+sqrt3)·(2-sqrt3)/(2-sqrt3)=(2-sqrt3)/(2^2-3)=2-sqrt3`
`x=(sqrt5+2)-(2-sqrt3)=sqrt5+sqrt3`
`x=sqrt5+sqrt3 > sqrt4+sqrt1 = 3`
vagyis `x > 3`
A 4-hez való hasonlítás kicsit trükkösebb:
`x^2 = (sqrt5+sqrt3)^2 = 5 + 2·sqrt(15)+3 < 8 + 2·sqrt(16)=8+2·4=16`
Tehát `x^2 < 16`, vagyis `x < 4`

Tehát `x ∈ I` igaz.

Legyen a közös nevező `2·5·6=3·4·5`
`x=(2·5)/(3·4·5)+5/(3·4·5)+3/(3·4·5)+2/(3·4·5)=(20)/(3·4·5)=1/3`
Az intervallum alja `0,(2)` vagyis végtelen tizedestört, a 2 ismétlődik.
Tudjuk, hogy `1/9=0","(1)` ezért `0","(2)=2/9`
Az intervallum teteje pedig hasonlóan `4/9`

`x=1/3=3/9`
Ez benne van az intervallumban.

e)
Próbáld meg: `x` nagyobb annál, mint ha `b` helyére teszed a nála kisebb `a`-t.
Aztán `x` kisebb annál, mint ha `a` helyébe teszed az annál nagyobb `b`-t.

f)
Ezt is próbáld meg ugyanezzel a módszerrel.

g)
Tudjuk, hogy
`(t-1)^2=t^2-2t+1`
`(t-1)^2-1=t^2-2t`
`1-(t-1)^2=2t-t^2`
`x=2t-t^2=1-(t-1)^2`
A négyzetes tag pozitív vagy 0. Ezért `x` legfeljebb 1, vagy annál kisebb.

Tehát igaz, hogy `x ∈ I`