a)
Mivel 10b és 12c páros, az összeg csak úgy lehet páros, ha a is. Az egyetlen páros prímszám a 2, tehát a = 2.
10b + 12c = 80, 10b biztos osztható 10-zel, ezért 12c-nek is 10 többszörösének kell lennie, emellett 80-nál kisebbnek. Csak egy ilyen szám van, ami a 60, tehát c = 5.
Innen megvan az, hogy 10b = 20 ⇒ b = 2

b)
Tudjuk, hogy b+c páros, mert 3b+c páros, ha pedig abból kivonok 2b-t (ami szintén páros), az eredmény mindenképp páros szám lesz (páros-páros=páros). Innen hasonló logika alapján kikövetkeztethető, hogy a-nak is párosnak kell lennie, ezért a=2. Innentől pedig egyszerű két ismeretlenes egyenletrendszer (ha leírjam a megoldását, akkor szólj!).

c)
Még nem jöttem rá, ha rájövök és még nem írták meg a megoldást, akkor szerkesztem a válaszom!
EDIT₁: Annyira bírtam rájönni, hogy a = 3, mert xxx biztos osztható 3-mal, és az összeadás másik két tagja is osztható 3-mal, szóval a**5-nek is annak kell lennie. Csak 3 lehet, mert már 9 is túl nagy, hogy a szám 3 jegyű maradjon.
EDIT₂: Köszönöm a megoldás befejezését bongolo-nak!

Csak kiegészíts a c)-hez:

`a^5+3b+15c=bar(x x x)`, ahol `x ≤ 4`
Ahogy zsombi0806 írta, `a=3` kell legyen
`3^5=243`, ezért csak 333 vagy 444 lehet a háromjegyű szám.

a) `3b+15c=333-243=90`
`b+5c=30`
Két páratlan összege páros, tehát páratlan prímek a `b` és `c`.
`c` kisebb 6-nál, tehát csak 3 vagy 5 lehet.
Ebből egyetlen megoldás lesz: `b=c=5`

b) `3b+15c=444-243=201`
`b+5c=67`
Egy páros és egy páratlan összege páratlan, tehát `b=2` vagy `c=2`
`c=2` esetén `b=57`, de az nem prím.
`b=2` esetén `c=13` jön ki, az is megoldás.