Algebra!

Melyik a sürgős????

Nem lehetne valami rendesebb módon megfogalmazni, hogy mit szeretnél? Arra már nem is merek gondolni, hogy esetleg leírd, hogy mi a problémád vele, meddig jutottál el, stb... valószínű egyszerűen lusta vagy és mással akarod megoldatni. De legalább kicsit pontosabban kérdeznél...

21.
Az `bar(abc)` alakú csak annyit jelent, hogy 3 számjegyből áll, amik `a, b` és `c`.
A számjegyek szorzata 30. Ez azt jelenti, hogy mindhárom számjegy osztója a 30-nak.
30 osztóihoz fel kell írni a törzstényezős felbontását:
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
Vagyis a prímtényezői 2, 3 és 5. De nem szabad azt se elfelejteni, hogy 1-gyel is osztható!

Szóval lehet mondjuk az a szám, hogy 165, vagy 156, 516, 615, 561, 651 csak akkor, ha az 1,5,6 számokból rakjuk ki. (Arra figyeltem, hogy az 1 mindhárom pozíción legyen, az 5 és 6 pedig ilyen és fordított sorrendben is álljon.)

Ha 1 van benne, más nem lehet, mert 2·5 és 3·5 is kétjegyű már. Elvileg meg kellene nézni azt is, hogy két darab 1-es is lehet benne, de akkor a harmadik számjegy a 2·3·5=30 kellene legyen, az főleg nem egy-jegyű.

Ha nincs benne 1, akkor a számjegyek csak a 2,3,5 lehetnek. Ezekből olyan számokat lehet alkotni, hogy 235, 253, 325, 523, 352, 532. Megint figyeltem arra, hogy a 2 mindhárom pozíción legyen, a 3 és 5 pedig így is és fordítva is álljon a maradék két helyen.

Tehát összesen lehet 12 számot alkotni.

b) Prímszám-e?
Ami 2-re vagy 5-re végződik vagy páros, az tuti nem prím, mert osztható 2-vel vagy 5-tel. A többi, amiket ellenőrizni kell:
- 561, 651 ezek oszthatóak 3-mal, mert 5+6+1=12 osztható
- 253, 523
Ezek 3-mal nem oszthatóak, mert 2+5+3=10, nem osztható.
5-tel nem, az egyértelmű (mert nem 5-re vagy 0-ra végződik)
A többihez osztani kell:
253 nem osztható 7-tel (ki kell próbálni)
253 osztahó 11-gyel, tehát nem prím.

523 nem osztható 7-tel, 11-gyel sem, 13-mal sem, 17-tel sem, 19-cel sem. A következő prím, amivel ki kellene próbálni, a 23, de 23·23 = 529, ami már nagyobb 523-nál, úgyhogy azzal már nem kell kipróbálni, mert ha azzal osztható lenne, akkor már egy kisebb prím is az osztója lenne, de nem volt kisebb.

Vagyis 523 az egyetlen prím.

22)
Páratlan számú osztója van, ez csak úgy lehet, ha a szám négyzetszám. Ugyanis ha egy n számnak p az osztója, akkor n/p is az osztója, tehát az osztók párban állnak. Kivétel a négyzetszám: ugyanis k²-nek osztója a k, aminek a párja k²/k = k, önmaga. Vagyis annak nincs párja.

3 osztója van: Minden számnak osztója az 1 és a szám maga, ezért ezeken kívül még egyetlen egy osztója lesz. Ha ez k, akkor n = k² kell tehát legyen. Ráadásul ez a k prímszám kell legyen, mert ha nem, akkor több osztója is lenne (a nem prímeknek van osztója).

Szóval olyan számokról van szó, amik egy prímszámnak a négyzete: p²

Az osztók tehát 1, p, p²
Ezek összege:
1+p+p² = 31
p²+p=30
p(p+1)=30

Tudjuk, hogy 30 = 6·5, ezért p=5 az egyetlen megoldás, a szám pedig n=p²=25.

Ha valamelyik lépés nem érthető, kérdezz rá, elmagyarázom részletesebben.