Érdemes parciális törtekre bontani:
`1/(k(k+1)(k+2))=A/k+B/(k+1)+C/(k+2)=`
`=(A(k+1)(k+2)+B·k(k+2)+C·k(k+1))/(k(k+1)(k+2))`
Vagyis
`1=A(k^2+3k+2)+B(k^2+2k)+C(k^2+k)`
`1=k^2(A+B+C)+k(3A+2B+C)+2A`
Vagyis
`A+B+C=0`
`3A+2B+C=0`
`2A=1`
Amiből az jön ki, hogy `A=1/2, B=-1, C=1/2`

Vagyis a szumma:
`sum_(k=1)^n (1//2)/k-1/(k+1)+(1//2)/(k+2)`
ami pedig teleszkopikus összeg: a "középső" negatív tag kiejti a sorozat másik elemeinek a pozitív tagjait. Írd fel mondjuk n=4 esetét, annyi marad meg a 4·3 tagból, hogy
`((1//2)/1-1/2)+((1//2)/2)+((1//2)/5)+(-1/5+(1//2)/6)`
Szóval megmarad a `k=1` és `k=2`-höz tartozó 3 tag, valamint a `k=n-1` és `k=n`-hez tartozó másik 3 tag.
(Persze a `k=1`-hez tartozó két tag is kiejti egymást, de azt már fel se írtam, mert azok más miatt ejtődnek ki...)
Azt már rád bízom, hogy felírd az általános képletet, remélem, látod könnyen.