A négyzet alapú gúlának élei kétféle csoportra oszthatóak; alapélekre és oldalélekre. Az alapélek ugyanolyan hosszúak, az oldalélekre ugyanez igaz.
Első körben tételezzük fel, hogy az alapélek hosszabbak az oldaléleknél, így az alapél hossza 12 cm. A továbblépéshez azt kell tudnunk, hogy ha a gúlát félbevágjuk az alap átlója mentén, akkor a vágás helyén egy egyenlő szárú háromszög keletkezik, melynek alapja a gúla alaplapjának átlója, esetünkben ez 12*√2 cm hosszú, Pitagorasz tételéből. Mivel a gúlát egy kockába írtuk bele, ezért a gúla magassága is 12 cm lesz, ez egyben az előbb említett háromszög alapjához tartozó magassága is, amiről tudjuk, hogy a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Abban a derékszögű háromszögben a két befogó hossza 12 cm és 6*√2 cm, így szintén Pitagorasz tétele szerint az átfogó hossza √ 216 =~14,69 cm, ez azonban több, mint 12 cm, tehát a gúla alapja nem lehet 12 cm hosszú.
Marad tehát az, hogy az oldalél hossza 12 cm. Ebben az esetben ugyanazt az eljárást végezzük el, tehát az alapéltől indulunk el. Legyen az alapél hossza x cm, ekkor a négyzet átlója x*√2 cm, ekkor az egyenlő szárú háromszög felezése után a befogók hossza x és x*√2/2 nagyságú lesz, így Pitagorasz tétele szerint:

x² + (x*√2/2)² = 12², ennek megoldása x=√ 96 , ami viszont már rövidebb 12 cm-nél.

Tehát a gúla alapélei √ 96  cm hosszúak, oldalélei 12 cm-esek, a kocka élei pedig √ 96  cm-esek.

Innen már be tudod fejezni?