`||x-2|-3| = px+2`

a) x ≥ 2
`|(x-2)-3| = px+2`
`|x-5| = px+2`

a1) x ≥ 5
`x-5 = px+2`
`-7 = (p-1)x`
`p=1 - 7/x`
`x` pozitív és ≥ 5, ezért ebből még negatív `p` is lehetne (`x` < 7 esetén), ami persze nem megoldás a nemnegatív `p` kikötés miatt. Legnagyobb akkor, ha x nagyon nagy, ekkor p egyre közelebb kerül 1-hez. Vagyis ilyen nemnegatív p-knél van megoldás:
`0 ≤ p < 1`

a2) 2 ≤ x < 5
`-(x-5) = px+2`
`3 = (p+1)x`
`p=3/x-1`
Ha `x > 3`, akkor `p` negatív lenne. A legnagyobb pozitív értéke `x=2` esetén van:
`0 ≤ p ≤ 1/2`

b) x < 2
`|-(x-2)-3| = px+2`
`|-x-1| = px+2`
`|x+1| = px+2`

b1) -1 ≤ x < 2
`x+1 = px+2`
`-1 = (p-1)x`
Ha x=0, nincs megoldás. Ha nem 0, oszthatunk vele:
`p=1-1/x`
Ha `-1 < x < 0`, akkor `p < 1`
Ha `0 < x < 2`, akkor `p < 1/2`
Szóval ennek `0 < p < 1` esetén van megoldása.

b2) x < -1
`-(x+1) = px+2`
`-3 = (p+1)x`
`p=-1-3/x`
Ez `x ≥ -3` esetén lesz pozitív, legnagyobb értékét -1-nél veszi fel:
`0 ≤ p < 2`

----
Ilyen `p`-knél van mind a négy ágnak megoldása:
`0 ≤ p ≤ 1/2`

Bongolo nagyon szép válaszát itt is megnézheted grafikusan:
https://www.geogebra.org/m/fthfsbbb
(Nem tudom, eddig miért nem jelölted be megoldottnak?)