1) Tegyük fel a fordítottját, vagyis hogy `d ∦ α`. Ez azt jelenti, hogy van `d`-nek és `α`-nak közös pontja, `P`.
Legyen `β` az a sík, amiben `d` és `a` is benne van. (Ilyen sík létezik a két párhuzamos egyenessel, ezt remélem, nem kell bizonyítani. Illetve 2)-höz hasonló módon bizonyítható.) `β` és `α` közös pontjai éppen az `a` egyenes pontjai.
A `β` síkban benne van a `P` pont is, hisz az része a `d` egyenesnek (és `d` benne van `β`-ban). Tehát a `P` pont közös pontja `β`-nak és `α`-nak. Akkor viszont az `a` egyenesen kellene lennie a `P`-nek, de akkor lenne `d`-nek és `a`-nak közös pontja, ami ellentmondás. Ezért `d ∥ α`.

2) `d ∥ α`, ezért nincs közös pontjuk.
`d ∈ β`
`β ∩ α = a`, ezért `a ∈ β` és `a ∈ α` is teljesül.
Mivel `d`-nek nincs `α`-val közös pontja, ezért `a`-val sem lehet. Viszont `a` és `d` ugyanabban a `β` síkban vannak, nincs közös pontjuk, ezért párhuzamosak kell legyenek.

3) `d ∥ α`, vagyis `d` minden pontja `x` távolságra van `α`-tól.
`A ∈ α`, `A ∈ a` és `d ∥ a`
Legyen az `A` pontnak `d`-től való távolsága `y`.
Tegyük fel, hogy `a ∦ α`, ekkor `a`-nak és `α`-nak egyetlen közös pontja van: `A`, és valamilyen meredekséggel távolodik az `a` egyenes `α`-tól. Vagyis ahogy vesszük az `A`-tól egyre messzebb lévő pontokat, egyre messzebb lesz az a pont `α`-tól. Lesz olyan `P ∈ a` pont is, aminek már `x+y`-nál nagyobb a távolsága `α`-tól. Ekkor viszont a `P`-től `y` távolságra lévő `P'` pont, ami a `d` egyenesen van, nem lehet `x` távolságra `α`-tól, ami ellentmondás. Ezért `a ∥ α`.