Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Részhalmazok

423
Az A={1,2,...,10} halmaznak hány olyan H részhalmaza van, melyre teljesülnek az alábbi feltétetelek?
a) 1 eleme a részhalmaznak
b) 1 és 2 is eleme a részhalmaznak
c) 1 és 2 közül legalabb az egyik eleme a részhalmaznak
d) 1 és 2 közül legfeljebb az egyik eleme a részhalmaznak
e) a részhalmazban az elemek szorzata 3-mal osztható

Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
halmaz, halmazok, részhalmaz, elemek
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

3
Első körben jegyezzük meg, hogy az n elemű halmaznak 2n darab részhalmaza van. Az A halmaznak most 10 eleme van, így 2¹⁰=1024 darab részhalmaza.

a) Számoljuk meg azokat a halmazokat, amelyek az 1-et nem tartalmazzák, ehhez vegyük ki a halmazból az 1-et, ekkor a {2,3...,10} halmazt kapjuk. Ennek a halmaznak 9 eleme van, vagyis 2⁹=512 darab részhalmaza. Ha ezekhez a halmazokhoz hozzávesszük az 1-et is, akkor megkapjuk az összes olyan részhalmazt, amely tartalmazza az 1-et elemként, tehát 512 olyan részhalmaz van, amelynek eleme az 1.

b) Ugyanaz a taktika, mint az a)-ban; kivesszük az 1 és a 2 számokat, ekkor a {3,4,...,10} halmazt kapjuk, amelynek 8 eleme, így 2⁸=256 részhalmaza van. Ezekhez csapjuk hozzá az 1-et és a 2-t, így az összes részhalmazt megkapjuk, amely tartalmazza a számokat, így 256 darab részhalmaz van, amely az 1-et és a 2-t is tartalmazza.

c) Azt tudjuk, hogy 512 olyan részhalmaz van, amely az 1-et tartalmazza, és nyilván ugyanennyien vannak a 2-t tartalmazók is, ezzel összesen 1024 halmazt számoltunk össze, azonban azokat a részhalmazokat így kétszer számoltuk meg, amelyek mindkettőt tartalmazzák, így őket le kell vonnunk, hogy csak egyszer legyenek megszámolva; ezekből a b) szerint 256 darab van, tehát 1024-256=768 olyan halmaz van, amely legalább az egyiket tartalmazza.

d) Ha jól értem, akkor a legfeljebb itt azt jelenti, hogy az 1 és a 2 közül vagy csak az 1-et, vagy csak a 2-t, vagy egyiket sem tartalmazza. Ez esetben a b) szerint 256 olyan részhalmaz van, amely egyiket sem tartalmazza. Ha ezekbe a halmazokba belerakjuk csak az 1-et, akkor az összes 1-et de 2-t nem tartalmazó halmazt megkapjuk, ha pedig csak a 2-t, akkor az összes 2-t de 1-et nem tartalmazó részhalmazt kapjuk meg. Tehát 256+256+256=768 olyan halmaz van, amely az 1 és a 2 közül legfeljebb az egyiket tartalmazza.
Ha pedig a legfeljebb alatt azt érti, hogy vagy ez, vagy az, de az egyiket tartalmazza, akkor 256+256=512 olyan részhalmaz van.

e) Ha a számok szorzata osztható 3-mal, akkor a szorzat tartalmaz 3-mal osztható számot. A számok között a 3;6;9 számok oszthatóak 3-mal, így ezek közül legalább az egyiket tartalmaznia kell a halmaznak. Azonban egyszerűbb megszámolni, hogy hány olyan van, amely ezeket nem tartalmazza; kivéve a számokat, a halmazban 7 szám marad, így ezek 2⁷=128 részhalmazt alkotnak. Ezeken kívül az összes tartalmazza a 3;6;9 szám valamelyikét, így 1024-128=896 olyan részhalmaz van, amelyekben az elemek szorzata 3-mal osztható.
0

Például megszámoltuk a {2;3;4} részhalmazt. Ebben nyilván nincs benne az 1-es, de ha hozzávesszük: {1;2;3;4}, akkor már benne lesz.
Tehát úgy számoljuk meg az 1-et tartalmazó halmazokat, hogy megszámoljuk, hogy hányban nincs, és azokba bepakoljuk.
1

De, igen. Ez igazából csak annyit jelent, hogy úgy is számolhattunk volna, hogy megszámoljuk, hogy hányban nincs 1-es, és azok számát levonjuk az összesből.
1