A korábbi megoldásomat töröltem, mivel kiderült, hogy ez az egyik aktuális KöMaL feladat:

https://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201809&t=mat&l=hu


Felhívom a figyelmed a versenyszabályzat alábbi részletére:

"FONTOS! A versenyek egyéni versenyek; a versenyzőknek önállóan kell elkészíteniük a példák megoldásait. A mérési verseny kivételével (lásd az M pontverseny leírását) tilos a kitűzött feladatokat a beküldési határidő előtt másokkal megvitatni, másoktól segítséget kérni vagy elfogadni a feladatok megoldásához. A közösen készített vagy másolt dolgozatokat — beleértve az eredeti szerzőét is — nem versenyszerűnek értékeljük. A csoportosan másolt dolgozatokat visszaküldjük az osztályt tanító tanárnak. Súlyosabb, az egész pontversenyt veszélyeztető esetekben (pl. a feladatok megtárgyalása internetes fórumokon) az érintett versenyzőket kizárjuk a versenyből."

Letelt a beadási határidő, ezért most már visszahozhatom a megoldásomat:



Legyen az egyik szám `p`, a másik `q=p+2`. A számtani közepük:
`(p+(p+2))/2=p+1`

A `p` szám egy 3-nál nagyobb prím, ezért nem lehet páros, vagyis 2-vel osztva csak 1 maradékot adhat. Ugyanezen okból nem lehet osztható 3-mal sem. Sőt, 3-mal osztva 1 maradékot sem adhat, mert akkor `p+2` osztható lenne 3-mal, márpedig annak is prímnek kell lennie. Tehát `p` 2-vel oszva 1, 3-mal osztva pedig 2 maradékot ad. Vagyis a `p+1` szám osztható 2-vel és 3-mal is, tehát 6-tal is, ezzel az első állítást bizonyítottuk.

Nézzük a szorzatuknál eggyel nagyobb számot:
`p(p+2)+1=p^2+2p+1=(p+1)^2`

Éppen az előbb láttuk be `p+1`-ről, hogy osztható 6-tal, tehát a négyzete osztható 36-tal.