2.22

a)
Az `mg` nehézségi erő függőlegesen hat a testre. Ennek az erőnek a lejtő síkjával párhuzamos komponense `mgsin\alpha`, a lejtő síkjára merőleges komponense pedig `mgcos\alpha`. A tapadási súrlódási erő a megcsúszás határhelyzetében tehát `\mu_0mgcos\alpha`, és ez tart egyensúlyt a nehézségi erő párhuzamos komponensével:
`\mu_0mgcos\alpha=mgsin\alpha`
`\mu_0cos\alpha=sin\alpha`
`\mu_0=tan\alpha`
Tehát a maximális szög `\alpha_{max}=arctan\mu_0`.

b)
Mivel a csúszási súrlódási együttható kisebb a tapadásinál, a test ilyenkor egyenletesen gyorsulva lecsúszik. A testet a nehézségi erő párhuzamos komponensének és a csúszási súrlódási erőnek az eredője gyorsítja, tehát a gyorsulása `a=gsin\alpha-\mu gcos\alpha`. Az előbb felírtuk, hogy a maximális szög esetében `gsin\alpha=\mu_0gcos\alpha`, tehát a gyorsulás ekkor így is írható: `a``=``\mu_0gcos\alpha-\mu gcos\alpha``=``(\mu_0-\mu)gcos\alpha`. Vagyis a test ilyenkor a tapadási és a csúszási súrlódási együtthatók közti különbséggel arányosan gyorsul.



2.37

A gyorsulása a csúszdán `a``=``g(sin\alpha-\mu cos\alpha)``=``4sqrt2``~~``5.66 m/s^2`.

Az `l=a/2t^2` képlet alapján `t=sqrt((2l)/a)` idő alatt ér le a gyerek a csúszda aljára, ezalatt `v``=``at``=``sqrt(2al)``=``sqrt(40sqrt(2))``~~``7.52m/s` sebességre tesz szert. Vagyis ekkora lesz a sebessége abban a pillanatban, amikor a medence széléhez ér, és elhagyja a csúszdát. Innentől a mozgás egy 45°-os ferde hajítás lefelé, `7.52m/s` kezdősebességgel.

A kezdősebesség függőleges komponense `v_{0f}=vsin\alpha``=``sqrt(20sqrt(2))``~~``5.32m/s`. A gyerek függőleges irányú mozgása egy lefelé hajítás ilyen kezdősebességgel. Ebből már könnyen ki tudjuk számolni, hogy a medence széléhez érkezéstől számítva mennyi idő elteltével csapódik a vízbe:
`h=v_{0f}t+g/2t^2`
`2=5.32t+5t^2`

Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív gyöke `t~~0.2945s`, tehát a gyerek a csúszda elhagyása után még ennyi ideig zuhan. Eközben vízszintes irányban is halad, méghozzá `v_{0v}``=``vcos\alpha``=``sqrt(20sqrt(2))``~~``5.32m/s` állandó sebességgel (ez a kezdősebesség vízszintes komponense, és mivel vízszintes irányban nem hat rá erő, a vízbe csapódásig állandó marad ez a sebességkomponens). A kérdés már csak az, hogy a vízbe érésig mekkora utat tesz meg vízszintes irányban: `v_{0v}t~~1.57` métert, vagyis a medence szélétől ekkora távolságra ér a vízbe.