Nem jó, egy banális hibát vétettél a harmadik sorban (hogyan lett szorzás a -2-vel összeadás helyett??)

`y'+y/x=2`
Ez nem szeparábilis diffegyenlet, de azzá tehető egy új változóval:
`u(x) = y/x \ \ \ \ -> \ \ \ \ y(x) = u(x)·x`
Ennek deriváltja: `y' = u'·x + u·x' = u'·x + u`
Így az egyenlet u-val:
`u'·x + 2u = 2`
`u'·x = 2-2u`
`(u')/(2-2u)=1/x`
Most már szeparálva van, ki tudod integrálni, nem csinálom meg.

Hogy hogyan lehet erre rájönni? Azt hiszem, sehogy (ha csak nagy mázlid nincs és rá nem érzel), meg kell tanulni, hogy ha a diffegyenlet ilyen alakú:
`y' = F(y/x)`
akkor érdemes `u=y/x` helyettesítést csinálni.

Bongolo megoldása tökéletes, én csak egy pici kiegészítést tennék. Ez már nem az első "jó-e a megoldásom" jellegű kérdésed, ezért gondoltam, hogy írnék néhány szót arról, hogy hogyan tudod ezeket magad is ellenőrizni.

Először is triviális módszer a kapott függvény visszahelyettesítése. Ellenőrizni kell, hogy a függvény teljesíti-e az egyenletet. Továbbá ha partikuláris megoldást kért a feladat, akkor ellenőrizni kell a kezdeti feltételeknek való megfelelést is. Az egyenlet `y'+y/x=2` volt, nézzük, hogy az általad kapott `y=sqrt(cx)` általános megoldás kielégíti-e ezt az egyenletet:

`1/2 sqrt(c/x)+sqrt(cx)/x=2`

`1.5sqrt(c/x)=2`

Ez nem vezetett azonosságra, tehát már az általános megoldás sem jó. Ennek fényében nagy jelentősége már nincs, de mellesleg a partikuláris megoldás sem teljesíti a kezdeti feltételt:

`sqrt(4.5*2) \ne -3`




Ezen kívül nagyon hasznos segédeszköz a Wolfram Alpha. Például ha csak simán beadod neki a diffegyenletet, azt is megoldja (az oldal alja felé, "Differential equation solution"):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%2By%2Fx%3D2

Ha rendelkezel előfizetéssel, akkor a megoldáshoz vezető lépéseket is részletezi, bár ez azért gyakran hagy némi kívánnivalót maga után, nem mindig a legszebb utat választja. Viszont nagyon jól használható pl. integrálok és deriváltak kiszámításához is.