Az eredeti differenciálegyenlet:
`(x^2+1)y''=2xy'`

Éljünk az `u=y'` helyettesítéssel:
`(x^2+1)u'=2xu`

`(x^2+1)(du)/(dx)=2xu`

`1/udu=(2x)/((x^2+1))dx`

Integrálás után:
`lnu+C_1=ln(x^2+1)+C_2`

A logaritmus azonosságait felhasználva:
`ln(C_3u)=ln(C_4(x^2+1))`

A logaritmusfüggvény kölcsönös egyértelműsége miatt:
`C_3u=C_4(x^2+1)`

Vagyis:
`u=C(x^2+1)`

De tőlünk nem `u`-t kérdezték, hanem `y`-t, ami `u` integrálja:
`y=\int u dx=C(x^3/3+x)+D`

Ez az általános megoldás. A benne szereplő két konstanst úgy kell megválasztani, hogy a partikuláris megoldás eleget tegyen a kezdeti feltételeknek. Az első feltétel:
`y(0)=1`

`C(0^3/3+0)+D=1`

`D=1`

A második feltétel:
`y'(0)=2`

`C(0^2+1)=2`

`C=2`

Tehát a keresett megoldás `y(x)=2/3x^3+2x+1`.

Köszönöm szépen! Jobban megértettem,mint azórai anyagból.