Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Differenciálegyenlet
esztucy
kérdése
487
Számítsa ki az adott differenciálegyenlet adott kezdeti feltételeknek megfelelő partikuláris megoldását!
9y''-6y'+y=0 y(0)=1, y'(0)=-1
9y''-6y'+y=0 y(0)=1, y'(0)=-1
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Az elméletet tudod? Vagyis hogy az ilyeneknek egy partikuláris megoldását `e^(λx)` alakban keressük, amit ha behelyettesítünk és osztunk vele, akkor kijön ez a karakterisztikus polinomnak nevezett egyenlet:
`9λ^2-6λ+1=0`
aminek a másodfokú megoldóképlettel most egy dupla gyöke jön ki:
`λ=1/3`
Ha két különálló gyök jött volna ki, akkor ez lenne az általános megoldás:
`y(x)=c_1·e^(λ_1·x)+c_2·e^(λ_2·x)`
de mivel dupla gyök van, ezt nem lehet használni. Akkor az egyik partikuláris megoldás `e^(λx)` helyett `x·e^(λ·x)` lesz, tehát:
`y(x)=c_1·e^(x/3)+c_2·x·e^(x/3)`
Már csak a peremfeltételeket kielégítő `c_1` és `c_2` megtalálása van hátra. Azt ugye meg tudod csinálni? (Helyettesíts be x=0-t, 1 kell kijöjjön. Ebből meglesz `c_1`. Aztán deriváld és abba helyettesíts be nullát, -1 kell legyen. Abból meg kijön `c_2`.)
`9λ^2-6λ+1=0`
aminek a másodfokú megoldóképlettel most egy dupla gyöke jön ki:
`λ=1/3`
Ha két különálló gyök jött volna ki, akkor ez lenne az általános megoldás:
`y(x)=c_1·e^(λ_1·x)+c_2·e^(λ_2·x)`
de mivel dupla gyök van, ezt nem lehet használni. Akkor az egyik partikuláris megoldás `e^(λx)` helyett `x·e^(λ·x)` lesz, tehát:
`y(x)=c_1·e^(x/3)+c_2·x·e^(x/3)`
Már csak a peremfeltételeket kielégítő `c_1` és `c_2` megtalálása van hátra. Azt ugye meg tudod csinálni? (Helyettesíts be x=0-t, 1 kell kijöjjön. Ebből meglesz `c_1`. Aztán deriváld és abba helyettesíts be nullát, -1 kell legyen. Abból meg kijön `c_2`.)
0
- Még nem érkezett komment!