Az elsőt rosszul csináltad, nem lehet tagonként hatványozni! Ez olyan, mintha azt írnád, hogy `(a+b)^2=a^2+b^2`.

Ugyebár van ez a nagyon nevezetes határérték: `lim_{n->\infty}(1+1/n)^n=e`. Mindhárom feladatot erre vezetjük vissza.

`lim_{n->\infty}(1+1/n)^(n+1)``=``lim_{n->\infty}[(1+1/n)^n(1+1/n)]``=``[lim_{n->\infty}(1+1/n)^n][lim_{n->\infty}(1+1/n)]=e*1=e`

Itt azt használtam ki, hogy ha két sorozatnak létezik véges határértéke, akkor a szorzatuk határértéke a határértékeik szorzata. Ehhez hasonló szabály van a hatványozásra is:

`lim_{n->\infty}(1+1/n)^(2n)``=``lim_{n->\infty}[(1+1/n)^n]^2``=``[lim_{n->\infty}(1+1/n)^n]^2=e^2`

Az utolsót úgy a legegyszerűbb csinálni, ha előtte végrehajtunk egy változócserét. Legyen `m=4n`. Világos, hogy ha `n` végtelenhez tart, akkor `m` is. Tehát:

`lim_{n->\infty}(1+1/(4n))^(n)``=``lim_{m->\infty}(1+1/m)^(m/4)``=``lim_{m->\infty}[(1+1/m)^m]^(1/4)``=``[lim_{m->\infty}(1+1/m)^m]^(1/4)=e^(1/4)=root4(e)`