Nagyon fontos

4.K2)
an=a₁*q(n-1)
k-ról, l-ről, és m-ről azt tudjuk, hogy ők egy számtani sorozat elemei, amire igaz, hogy 2l=k+m.
Most írjuk fel a mértani sorozat megfelelő elemeit:
ak=a₁*q(k-1)
al=a₁*q(l-1)
am=a₁*q(m-1)
A mértan sorozatok egymást követő elemei között az alábbi az összefüggés:
al²=ak*am
Írjuk át a fenti képlete:
(a₁*q(l-1))²=(a₁*q(k-1))*(a₁*q(m-1))
a₁²*q2*(l-1)=a₁²q(k-1)+(m-1) Mivel a₁≠0 (!) (hiszen ha az lenne, akkor nem lenne mértani sorozatunk, mert a sorozat mindegyik eleme 0 lenne, amiből nem számolható a kvóciens), ezért a₁²-tel egyszerűsíthetek.
q2*(l-1)=q(k-1)+(m-1) (az azonos alapok miatt az alapokat elhagyhatom)
2*(l-1)=k-1+m-1
2l-2=k+m-2 mindkét oldalhoz hozzáadok 2-t
2l=k+m
Mivel k-ról, l-ről és m-ről azt tudjuk, hogy egy számtani sorozat egymást követő elemei, ahol igaz az alábbi összefüggés: 2an=a(n-1)+a(n+1), vagyis a két "szélső" elem összege egyenlő a "középső" elem kétszeresével! Ezt szerettük volna bebizonyítani.

5.K2)
Mértani sorozat első eleme: a₁, kvóciense q.
Mennyi a mértani sorozat első n elemének szorzata.
a₁=a₁
a₂=a₁*q
a₃=a₁*q²
.
.
.
an=a₁*q(n-1)
Ha ezeket összeszorozzuk a következőt kapjuk:
a₁*a₂*a₃*...*an=a₁*a₁*q*a₁*q²*...*a₁*q(n-1) Kicsit átrendezem
a₁*a₂*a₃*...*an=a₁*a₁*a₁*...*a₁*q*q²*...q(n-1)
a₁*a₂*a₃*...*an=a₁ⁿ*q(1+2+3+...+(n-1))
Vegyük észre, hogy a kvóciens hatványában az (n-1)-ig terjedő természetes számok szerepelnek, ami egy sima számtani sorozat összegképlete: b₁=1, d=1, m=(n-1). S(m)=(2b₁+(m-1)*d)*(m/2) behelyettesítve => S(n-1)=(2*1+(n-1-1)*1)*((n-1)/2) => S(n-1)=(2+(n-2))*((n-1)/2)=(n²-n)/2
Összeborítva a két egyenletet
a₁*a₂*a₃*...*an=a₁ⁿ*q(n²-n)/2