Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
ELEMI LINEÁRIS ALGEBRA
Sipka Gergő
{ Tanár } kérdése
363
A 3. feladatról lenne szó, és hát így a z² és a z³ kivételével semmit nem tudok.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
válasza
Az exponenciális az könnyű: `e^(10-6i)``=``e^10*e^(-6i)`. Tehát ez egy olyan komplex szám, aminek az abszolút értéke `e^10`, szöge pedig `-6` radián. Ha kell, átírhatjuk derékszögű valós-képzetes alakba:
`e^10e^(-6i)``=``e^10cos(-6)+i*e^10sin(-6)``~~``21149+6155i`
---------------------------------------
A szinusz visszavezethető az exponenciálisra:
`sin(z)``=``(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)``=``(e^(6+10i)-e^(-6-10i))/(2i)``=``(e^6e^(10i)-e^(-6)e^(-10i))/(2i)``=``(e^6cos10+i*e^6sin10-e^(-6)cos(-10)-i*e^(-6)sin(-10))/(2i)``=``[e^6/2sin10-e^(-6)/2sin(-10)]-i*[e^6/2cos10-e^-6/2cos(-10)]``~~``-110+169i`
Vagy ha ismered a hiperbolikus függvényeket, azokkal is számolhatsz:
`sin(a+bi)``=``sina coshb+i*cosa sinhb`
---------------------------------------
Hasonlóan a koszinusz is:
`cos(z)``=``(e^(iz)+e^(-iz))/2``=``(e^(6+10i)+e^(-6-10i))/2``=``(e^6e^(10i)+e^(-6)e^(-10i))/2``=``(e^6cos10+i*e^6sin10+e^(-6)cos(-10)+i*e^(-6)sin(-10))/2``=``[e^6/2cos10+e^-6/2cos(-10)]+i*[e^6/2sin10+e^(-6)/2sin(-10)]``~~``-169-110i`
Vagy hiperbolikus függvényekkel:
`cos(a+bi)``=``cosa coshb-i*sina sinhb`
---------------------------------------
A négyzetgyököt úgy a legegyszerűbb számolni, ha átváltjuk a számot exponenciális alakba:
`10-6i``=``sqrt(10^2+6^2)*e^(i*arctan(-6/10))`
Gyökvonáskor az amplitúdó a gyökére csökken, a fázis pedig feleződik:
`sqrt(10-6i)``=``sqrt(sqrt(10^2+6^2))*e^(i*1/2arctan(-6/10))``~~``3.4150e^(-0.2702i)``=``3.4150(cos0.2702-i*sin0.2702)``~~``3.29-0.91i`
De nem felejtük el, hogy egy komplex számnak N darab N-edik gyöke van, tehát ez is megoldás:
`sqrt(sqrt(10^2+6^2))*e^(i*(pi+1/2arctan(-6/10)))``~~``3.4150e^(2.8714i)``=``3.4150(cos2.8714+i*sin2.8714)``~~``-3.29+0.91i`
Ez persze az előző szám ellentettje, hiszen `w^2``=``(-w)^2`.
A másik lehetőség, hogy ha `sqrt(z)=x+yi`, akkor ennek a négyzete vissza kell adja `z`-t: `z=x^2-y^2+2xyi`. A valós és képzetes részek egyenlőségéből van egy egyenletrendszered.
A harmadik lehetőség, hogy megjegyzed az egzakt formulát:
`sqrt(a+bi)``=``\pm[sqrt((a+sqrt(a^2+b^2))/2)+i*b/|b|*sqrt((-a+sqrt(a^2+b^2))/2)]`
`e^10e^(-6i)``=``e^10cos(-6)+i*e^10sin(-6)``~~``21149+6155i`
---------------------------------------
A szinusz visszavezethető az exponenciálisra:
`sin(z)``=``(e^(iz)-e^(-iz))/(2i)``=``(e^(6+10i)-e^(-6-10i))/(2i)``=``(e^6e^(10i)-e^(-6)e^(-10i))/(2i)``=``(e^6cos10+i*e^6sin10-e^(-6)cos(-10)-i*e^(-6)sin(-10))/(2i)``=``[e^6/2sin10-e^(-6)/2sin(-10)]-i*[e^6/2cos10-e^-6/2cos(-10)]``~~``-110+169i`
Vagy ha ismered a hiperbolikus függvényeket, azokkal is számolhatsz:
`sin(a+bi)``=``sina coshb+i*cosa sinhb`
---------------------------------------
Hasonlóan a koszinusz is:
`cos(z)``=``(e^(iz)+e^(-iz))/2``=``(e^(6+10i)+e^(-6-10i))/2``=``(e^6e^(10i)+e^(-6)e^(-10i))/2``=``(e^6cos10+i*e^6sin10+e^(-6)cos(-10)+i*e^(-6)sin(-10))/2``=``[e^6/2cos10+e^-6/2cos(-10)]+i*[e^6/2sin10+e^(-6)/2sin(-10)]``~~``-169-110i`
Vagy hiperbolikus függvényekkel:
`cos(a+bi)``=``cosa coshb-i*sina sinhb`
---------------------------------------
A négyzetgyököt úgy a legegyszerűbb számolni, ha átváltjuk a számot exponenciális alakba:
`10-6i``=``sqrt(10^2+6^2)*e^(i*arctan(-6/10))`
Gyökvonáskor az amplitúdó a gyökére csökken, a fázis pedig feleződik:
`sqrt(10-6i)``=``sqrt(sqrt(10^2+6^2))*e^(i*1/2arctan(-6/10))``~~``3.4150e^(-0.2702i)``=``3.4150(cos0.2702-i*sin0.2702)``~~``3.29-0.91i`
De nem felejtük el, hogy egy komplex számnak N darab N-edik gyöke van, tehát ez is megoldás:
`sqrt(sqrt(10^2+6^2))*e^(i*(pi+1/2arctan(-6/10)))``~~``3.4150e^(2.8714i)``=``3.4150(cos2.8714+i*sin2.8714)``~~``-3.29+0.91i`
Ez persze az előző szám ellentettje, hiszen `w^2``=``(-w)^2`.
A másik lehetőség, hogy ha `sqrt(z)=x+yi`, akkor ennek a négyzete vissza kell adja `z`-t: `z=x^2-y^2+2xyi`. A valós és képzetes részek egyenlőségéből van egy egyenletrendszered.
A harmadik lehetőség, hogy megjegyzed az egzakt formulát:
`sqrt(a+bi)``=``\pm[sqrt((a+sqrt(a^2+b^2))/2)+i*b/|b|*sqrt((-a+sqrt(a^2+b^2))/2)]`
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!